Zadanie - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

ksiązki a) Rozwiązanie uproszczone

tg2x=1\\ 2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C

ksiązki a) Rozwiązanie szczegółowe

Zastosujmy podstawienie 2x=u, otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

2x=u\\ tgu=1

którego rozwiązaniem ogólnym jest:

u=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C

(Pamiętamy, że tg \frac{\pi}{4}=1). wracamy do zmiennej x:

2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C

ksiązki b) Rozwiązanie uproszczone

\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C

ksiązki b) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wykonujemy przekształcenie:

\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\\ \sin{2x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Zastosujmy podstawienie 2x=u, otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

2x=u\\ \sin{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}

którego rozwiązaniem podstawowym jest:

\alpha, \ \pi - \alpha, \ czyli:\\ \frac{\pi}{4}, \ \pi-\frac{\pi}{4}

(Pamiętamy, że \sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2})

Rozwiązaniem ogólnym równania jest:

u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in C\\ u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi,\ k\in C

Wracamy do zmiennej x:

2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-03, ZAD-1349


Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.