Nauka » Matematyka » Równania trygonometryczne Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

a) Rozwiązanie uproszczone

$tg2x=1\\ 2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Zastosujmy podstawienie 2x=u, otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

$2x=u\\ tgu=1$

którego rozwiązaniem ogólnym jest:

$u=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C$

(Pamiętamy, że $tg \frac{\pi}{4}=1$ ). wracamy do zmiennej x:

$2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C$

b) Rozwiązanie uproszczone

$\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C$

b) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wykonujemy przekształcenie:

$\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\\ \sin{2x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zastosujmy podstawienie 2x=u, otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

$2x=u\\ \sin{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

którego rozwiązaniem podstawowym jest:

$\alpha, \ \pi - \alpha, \ czyli:\\ \frac{\pi}{4}, \ \pi-\frac{\pi}{4}$

(Pamiętamy, że $\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

Rozwiązaniem ogólnym równania jest:

$u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in C\\ u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi,\ k\in C$

Wracamy do zmiennej x:

$2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2019 - poziom rozszerzony

Rozwiąż równanie cos 2x = sin x +1 w przedziale ⟨0,2π⟩.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 9, matura 2020 - poziom rozszerzony

Rozwiąż równanie 3cos2x +10 cos²x = 24sinx − 3 dla x∈⟨0, 2π⟩.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.