Zadanie - równanie trygonometryczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie:
a) \(tg2x=1\)
b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)
a) Rozwiązanie
Zastosujmy podstawienie \(2x=u\), otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:
\(2x=u\)
\(tgu=1\)
którego rozwiązaniem ogólnym jest:
\(u=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C\)
(Pamiętamy, że \(tg \frac{\pi}{4}=1\)). wracamy do zmiennej \(x\)
\(2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\)
\(x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C\)
Odpowiedź
\(x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C\)b) Rozwiązanie zadania
Wykonujemy przekształcenie:
\(\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\)
\(\sin{2x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Zastosujmy podstawienie \(2x=u\), otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:
\(2x=u\)
\(\sin{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
którego rozwiązaniem podstawowym jest:
\(\alpha, \ \pi - \alpha, \ czyli:\)
\(\frac{\pi}{4}, \ \pi-\frac{\pi}{4}\)
(Pamiętamy, że \(\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))
Rozwiązaniem ogólnym równania jest:
\(u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in C\)
\(u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi,\ k\in C\)
Wracamy do zmiennej \(x\):
\(2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C\)
Odpowiedź
\(x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C\)© medianauka.pl, 2011-06-03, ZAD-1349
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rozwiązać równanie:
a) \(ctg3x=\sqrt{3}\)
b) \(2\cos{3x}=\sqrt{2}\)
c) \(\cos{5x}=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 2 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\) w przedziale \(\langle -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\rangle\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\) w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle\).
