Nauka » Matematyka » Równania trygonometryczne Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

a) Rozwiązanie uproszczone

$tg2x=1\\ 2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Zastosujmy podstawienie 2x=u, otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

$2x=u\\ tgu=1$

którego rozwiązaniem ogólnym jest:

$u=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C$

(Pamiętamy, że $tg \frac{\pi}{4}=1$ ). wracamy do zmiennej x:

$2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C$

b) Rozwiązanie uproszczone

$\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C$

b) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wykonujemy przekształcenie:

$\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\\ \sin{2x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zastosujmy podstawienie 2x=u, otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

$2x=u\\ \sin{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

którego rozwiązaniem podstawowym jest:

$\alpha, \ \pi - \alpha, \ czyli:\\ \frac{\pi}{4}, \ \pi-\frac{\pi}{4}$

(Pamiętamy, że $\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

Rozwiązaniem ogólnym równania jest:

$u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in C\\ u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi,\ k\in C$

Wracamy do zmiennej x:

$2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania