Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1


ksiązki a) Rozwiązanie uproszczone

tg2x=1\\ 2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C

ksiązki a) Rozwiązanie szczegółowe

Zastosujmy podstawienie 2x=u, otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

2x=u\\ tgu=1

którego rozwiązaniem ogólnym jest:

u=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C

(Pamiętamy, że tg \frac{\pi}{4}=1). wracamy do zmiennej x:

2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C

ksiązki b) Rozwiązanie uproszczone

\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C

ksiązki b) Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wykonujemy przekształcenie:

\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\\ \sin{2x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Zastosujmy podstawienie 2x=u, otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

2x=u\\ \sin{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}

którego rozwiązaniem podstawowym jest:

\alpha, \ \pi - \alpha, \ czyli:\\ \frac{\pi}{4}, \ \pi-\frac{\pi}{4}

(Pamiętamy, że \sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2})

Rozwiązaniem ogólnym równania jest:

u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in C\\ u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi,\ k\in C

Wracamy do zmiennej x:

2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-03, ZAD-1349


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.