Zadanie - równanie trygonometryczne

Treść zadania:

a) Rozwiązanie

Zastosujmy podstawienie \(2x=u\), otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

\(2x=u\)

\(tgu=1\)

którego rozwiązaniem ogólnym jest:

\(u=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C\)

(Pamiętamy, że \(tg \frac{\pi}{4}=1\)). wracamy do zmiennej \(x\)

\(2x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:2,\ k\in C\)

\(x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}, \ k\in C\)

Odpowiedź

b) Rozwiązanie zadania

Wykonujemy przekształcenie:

\(\sqrt{2}\sin{2x}=1/:\sqrt{2}\)

\(\sin{2x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

\(\sin{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Zastosujmy podstawienie \(2x=u\), otrzymamy wówczas równanie trygonometryczne elementarne:

\(2x=u\)

\(\sin{u}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

którego rozwiązaniem podstawowym jest:

\(\alpha, \ \pi - \alpha, \ czyli:\)

\(\frac{\pi}{4}, \ \pi-\frac{\pi}{4}\)

(Pamiętamy, że \(\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))

Rozwiązaniem ogólnym równania jest:

\(u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in C\)

\(u=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi,\ k\in C\)

Wracamy do zmiennej \(x\):

\(2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi/:2,\ k\in C\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\frac{3}{8}\pi+k\pi,\ k\in C\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-06-03, ZAD-1349

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.