Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$
$\frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznych:

$tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\ ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$

Mamy więc:

$tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \frac{\sin{x}}{\sin{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\cdot \frac{\cos{x}}{\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ tło

Skorzystaliśmy tutaj (kolor żółty) z jedynki trygonometrycznej

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

Skorzystamy z tożsamości:

$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$

Wcześniej jednak doprowadzimy mianownik pierwszego ułamka do postaci, która występuje w powyższej tożsamości

$\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}/:2\\ \frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}} (\sin{2x}\neq 0)\\ 2\sin{2x}=1\cdot \sqrt{3}/:2\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Wprowadzimy zmienną pomocniczą i rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne:

$2x=u\\ \sin{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ u=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania