Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$
$\frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznych:

$tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\ ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$

Mamy więc:

$tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \frac{\sin{x}}{\sin{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\cdot \frac{\cos{x}}{\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ tło

Skorzystaliśmy tutaj (kolor żółty) z jedynki trygonometrycznej

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

Skorzystamy z tożsamości:

$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$

Wcześniej jednak doprowadzimy mianownik pierwszego ułamka do postaci, która występuje w powyższej tożsamości

$\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}/:2\\ \frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}} (\sin{2x}\neq 0)\\ 2\sin{2x}=1\cdot \sqrt{3}/:2\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Wprowadzimy zmienną pomocniczą i rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne:

$2x=u\\ \sin{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ u=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.