Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Treść zadania:

Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$.

Rozwiązanie zadania

Przekształcamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznych:

$tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

$ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$

Mamy więc:

$tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}= \frac{4}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \frac{\sin{x}}{\sin{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\cdot \frac{\cos{x}}{\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x} }{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Skorzystaliśmy tutaj z jedynki trygonometrycznej

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

Skorzystamy z tożsamości:

$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$

Wcześniej jednak doprowadzimy mianownik pierwszego ułamka do postaci, która występuje w powyższej tożsamości

$\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}/:2$

$\frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}} (\sin{2x}\neq 0)$

$2\sin{2x}=1\cdot \sqrt{3}/:2$

$\sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Wprowadzimy zmienną pomocniczą i rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne:

$2x=u$

$\sin{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} $

$u=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C$

$2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C$

$x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C$

$x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) $tg2x=1$

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równanie $2sinx+3cosx=6$ w przedziale $(0,2\pi)$

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż równanie $\cos{2x}=\sin{x}+1$ w przedziale $\langle 0,2\pi \rangle$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie $3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3$ dla $x\in \langle 0, 2\pi\rangle$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie $\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})$ w przedziale $\langle 0; \pi \rangle$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie $4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.