Logo Media Nauka

Zadanie - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}
\frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}
2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznych:

tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\ ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}

Mamy więc:

tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \frac{\sin{x}}{\sin{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\cdot \frac{\cos{x}}{\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}} tło tło

Skorzystaliśmy tutaj (kolor żółty) z jedynki trygonometrycznej

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1

Skorzystamy z tożsamości:

\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}

Wcześniej jednak doprowadzimy mianownik pierwszego ułamka do postaci, która występuje w powyższej tożsamości

\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}/:2\\ \frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}} (\sin{2x}\neq 0)\\ 2\sin{2x}=1\cdot \sqrt{3}/:2\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Wprowadzimy zmienną pomocniczą i rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne:

2x=u\\ \sin{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ u=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-04, ZAD-1352

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.