Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$
$\frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznych:

$tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\ ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$

Mamy więc:

$tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \frac{\sin{x}}{\sin{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\cdot \frac{\cos{x}}{\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ tło

Skorzystaliśmy tutaj (kolor żółty) z jedynki trygonometrycznej

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

Skorzystamy z tożsamości:

$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$

Wcześniej jednak doprowadzimy mianownik pierwszego ułamka do postaci, która występuje w powyższej tożsamości

$\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}/:2\\ \frac{1}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sin{2x}}=\frac{2}{\sqrt{3}} (\sin{2x}\neq 0)\\ 2\sin{2x}=1\cdot \sqrt{3}/:2\\ \sin{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Wprowadzimy zmienną pomocniczą i rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne:

$2x=u\\ \sin{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ u=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ u=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee \ 2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{2}{6}\pi+k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi\ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi, \ k\in C$