Zadanie maturalne nr 12, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy najpierw ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\)

\(\cos^2{x}-\sin^2{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\)

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia dla lewej strony równania:

\((\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\)

\((\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})-\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\)=0

Wyjmujemy przed nawias czynnik \((\cos{x}-\sin{x})\):

\((\cos{x}-\sin{x})(\cos{x}+\sin{x}-\frac{\sqrt{2}}{2})\)=0

Iloczyn jest zerem, gdy jeden lub drugi czynnik iloczynu jest równy zeru.

Zatem:

1) \(\cos{x}-\sin{x}=0\)

2) \(\cos{x}+\sin{x}-\frac{\sqrt{2}}{2}\)=0

Pierwsze równanie rozwiązujemy graficznie w przedziale ⟨0;π⟩, tzn. szukamy argumentu \(x\), dla której \(\sin{x}\) jest równy \(\cos{x}\).

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu: \(x=\frac{\pi}{4}\)

Rozwiązujemy drugie równanie:

\(\cos{x}+\sin{x}-\frac{\sqrt{2}}{2})\)=0

\(\cos{x}+\sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{2})\)

Korzystając ze wzorów redukcyjnych:

\(\sin{\frac{\pi}{2}-x}+\sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{2})\)

Stosujemy wzór na sumę sinusów:

\(2\sin{\frac{\frac{\pi}{2}-x+x}{2}}\cdot \cos{\frac{\frac{\pi}{2}-x-x}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(2\sin{\frac{\pi}{4}}\cdot \cos{(\frac{\pi}{4}-x)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos{(\frac{\pi}{4}-x)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos{(\frac{\pi}{4}-x)}=\frac{1}{2}\)

Zatem

\(\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\)

lub

\(\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\)

Czyli:

\(x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi\)

lub

\(x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi\)

W rozpatrywanym przedziale \(x=\frac{7\pi}{12}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-04-06, ZAD-4837

Zadania podobne

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).