Zadanie maturalne nr 9, matura 2020 - poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie 3cos2x +10 cos2x = 24sinx − 3 dla x∈〈0, 2π〉.
Rozwiązanie zadania
Mamy równanie trygonometryczne:
\(3\cos{2x}+10\cos^2{x}=24\sin{x}-3\).
skorzystamy z tożsamości trygonowemtrycznych:
\(\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}\) oraz \(\sin^2+\cos^2{x}=1\).
Mamy więc:
\(3(\cos^2{x}-\sin^2{x})+10(1-\sin^2{x})=24\sin{x}-3\)
\(3(1-\sin^2{x})-3\sin^2{x}+10-10\sin^2{x}-24\sin{x}+3=0\)
\(-16\sin^2{x}-24\sin{x}+16=0/:(-8)\)
\(2\sin^2{x}+3\sin{x}-2=0\)
Robimy podstawienie:
\(t=\sin{x}\)
Mamy więc:
\(2t^2+3t-2=0\)
\(\Delta=9+16=25\)
\(\sqrt{\Delta}=5\)
\(t_1=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2\)
\(t_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}\)
Otrzymujemy równania elementarne: pierwsze: \(\sin{x}=-2\), które nie ma rozwiązania oraz \(\sin{x}=\frac{1}{2}\), które w przedziale \(〈0, 2π〉\) ma dwa rozwiązania:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-11, ZAD-4779
Zadania podobne

Rozwiązać równanie:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:

Pokaż rozwiązanie zadania

Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiąż równanie cos 2x = sin x +1 w przedziale 〈0,2π〉.
Pokaż rozwiązanie zadania