zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 9, matura 2020 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy równanie trygonometryczne:

\(3\cos{2x}+10\cos^2{x}=24\sin{x}-3\).

skorzystamy z tożsamości trygonowemtrycznych:

\(\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}\) oraz \(\sin^2+\cos^2{x}=1\).

Mamy więc:

\(3(\cos^2{x}-\sin^2{x})+10(1-\sin^2{x})=24\sin{x}-3\)

\(3(1-\sin^2{x})-3\sin^2{x}+10-10\sin^2{x}-24\sin{x}+3=0\)

\(-16\sin^2{x}-24\sin{x}+16=0/:(-8)\)

\(2\sin^2{x}+3\sin{x}-2=0\)

Robimy podstawienie:

\(t=\sin{x}\)

Mamy więc:

\(2t^2+3t-2=0\)

\(\Delta=9+16=25\)

\(\sqrt{\Delta}=5\)

\(t_1=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2\)

\(t_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}\)

Otrzymujemy równania elementarne: pierwsze: \(\sin{x}=-2\), które nie ma rozwiązania oraz \(\sin{x}=\frac{1}{2}\), które w przedziale \(⟨0, 2π⟩\) ma dwa rozwiązania:

ksiązki Odpowiedź

\(x_1=\frac{\pi}{6}, x_2=\frac{5}{6}\pi\)

© medianauka.pl, 2023-03-11, ZAD-4779

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.