Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie maturalne nr 9, matura 2020 - poziom rozszerzony

Rozwiąż równanie 3cos2x +10 cos²x = 24sinx − 3 dla x∈⟨0, 2π⟩.

Rozwiązanie zadania

Mamy równanie trygonometryczne:

$3\cos{2x}+10\cos^2{x}=24\sin{x}-3$.

skorzystamy z tożsamości trygonowemtrycznych:

$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$ oraz $\sin^2+\cos^2{x}=1$.

Mamy więc:

$3(\cos^2{x}-\sin^2{x})+10(1-\sin^2{x})=24\sin{x}-3$

$3(1-\sin^2{x})-3\sin^2{x}+10-10\sin^2{x}-24\sin{x}+3=0$

$-16\sin^2{x}-24\sin{x}+16=0/:(-8)$

$2\sin^2{x}+3\sin{x}-2=0$

Robimy podstawienie:

$t=\sin{x}$

Mamy więc:

$2t^2+3t-2=0$

$\Delta=9+16=25$

$\sqrt{\Delta}=5$

$t_1=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2$

$t_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}$

Otrzymujemy równania elementarne: pierwsze: $\sin{x}=-2$, które nie ma rozwiązania oraz $\sin{x}=\frac{1}{2}$, które w przedziale $⟨0, 2π⟩$ ma dwa rozwiązania:

Odpowiedź

$x_1=\frac{\pi}{6}, x_2=\frac{5}{6}\pi$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2019 - poziom rozszerzony

Rozwiąż równanie cos 2x = sin x +1 w przedziale ⟨0,2π⟩.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.