Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\\ \cos{x}-tg\frac{\pi}{3}\sin{x}=1
\cos{x}-\frac{ \sin{ \frac{\pi}{3} }}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\sin{x}=1/\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}\\ \cos{x}\cos{\frac{\pi}{3}}-\sin{x}\sin{\frac{\pi}{3}}=\cos{\pi}
\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\cos{\frac{\pi}{3}}
\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\frac{1}{2}\\ u=x+\frac{\pi}{3}\\ \cos{u}=\frac{1}{2}
u=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C
x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\\ x=2k\pi \ \vee \ x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Zauważamy, że:

tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\\ \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\\ \cos{x}-tg\frac{\pi}{3}\sin{x}=1

Korzystamy ze wzoru:

tg\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

Mamy więc:

\cos{x}-\frac{ \sin{ \frac{\pi}{3} }}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\sin{x}=1/\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}\\ \cos{x}\cos{\frac{\pi}{3}}-\sin{x}\sin{\frac{\pi}{3}}=\cos{\pi}

Korzystamy ze wzoru:

\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}

Otrzymujemy:

\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\cos{\frac{\pi}{3}}

Wiemy, że \cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}, ponadto zastosujemy podstawienie:

\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\frac{1}{2}\\ u=x+\frac{\pi}{3}\\ \cos{u}=\frac{1}{2}

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe: u_0=\frac{\pi}{3}\ lub \ u_0=-\frac{\pi}{3}

i rozwiązanie ogólne:

u=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C

Wracamy do zmiennej x

x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\\ x=2k\pi \ \vee \ x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=2k\pi \ \vee \ x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-05, ZAD-1357





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.