Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\\ \cos{x}-tg\frac{\pi}{3}\sin{x}=1$
$\cos{x}-\frac{ \sin{ \frac{\pi}{3} }}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\sin{x}=1/\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}\\ \cos{x}\cos{\frac{\pi}{3}}-\sin{x}\sin{\frac{\pi}{3}}=\cos{\pi}$
$\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\cos{\frac{\pi}{3}}$
$\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\frac{1}{2}\\ u=x+\frac{\pi}{3}\\ \cos{u}=\frac{1}{2}$
$u=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C$
$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\\ x=2k\pi \ \vee \ x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Zauważamy, że:

$tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\\ \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\\ \cos{x}-tg\frac{\pi}{3}\sin{x}=1$

Korzystamy ze wzoru:

$tg\alpha=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$

Mamy więc:

$\cos{x}-\frac{ \sin{ \frac{\pi}{3} }}{\cos{\frac{\pi}{3}}}\sin{x}=1/\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}\\ \cos{x}\cos{\frac{\pi}{3}}-\sin{x}\sin{\frac{\pi}{3}}=\cos{\pi}$

Korzystamy ze wzoru:

$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$

Otrzymujemy:

$\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\cos{\frac{\pi}{3}}$

Wiemy, że $\cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}$ , ponadto zastosujemy podstawienie:

$\cos{(x+\frac{\pi}{3})}=\frac{1}{2}\\ u=x+\frac{\pi}{3}\\ \cos{u}=\frac{1}{2}$

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe: $u_0=\frac{\pi}{3}\ lub \ u_0=-\frac{\pi}{3}$

i rozwiązanie ogólne:

$u=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C$

Wracamy do zmiennej x

$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\\ x=2k\pi \ \vee \ x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=2k\pi \ \vee \ x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania