Zadanie - równanie trygonometyczne

Rozwiązanie zadania

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Stosujemy podstawienie:

\(u=2x-\frac{\pi}{2}\)

\(2\sin{u}=1/:2\)

\(2\sin{u}=\frac{1}{2}\)

Mamy rozwiązanie podstawowe: \(u_0=\frac{\pi}{6}, \ lub \ u_0=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5}{6}\pi\)

Rozwiązanie ogólne:

\(u=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ u=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C"\)

Wracamy do zmiennej \(x\):

\(2x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{2}=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C\)

\(2x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{5}{6}\pi+\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k\in C\)

\(2x=\frac{\pi}{6}+\frac{3}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{5}{6}\pi+\frac{3}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C\)

\(2x=\frac{4}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{8}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C\)

\(2x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi/:2, \ k\in C\)

\(x=\frac{2}{6}\pi+k\pi/:2 \ \vee \ x=\frac{4}{6}\pi+k\pi/:2, \ k\in C\)

\(x=\frac{\pi}{3}+k\pi \ \vee \ x=\frac{2}{3}\pi+k\pi, \ k\in C\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-06-05, ZAD-1358

Zadania podobne

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.