Zadanie - równanie trygonometryczne

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

Możemy w tym przypadku zastosować wzór na sumę funkcji trygonometrycznych pod warunkiem, że sinus wyrazimy za pomocą funkcji cosinus, korzystając ze wzoru redukcyjnego:

Mamy więc:

\(\cos{5x}+\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=0\)

Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych:

\(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

Mamy więc:

\(2\cos{\frac{5x+(\frac{\pi}{2}-x)}{2}}\cos{\frac{5x-(\frac{\pi}{2}-x)}{2}}=0\)

\(2\cos{(2x+\frac{\pi}{4})}\cos{(3x-\frac{\pi}{4})}=0\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem lub drugi jest równy zeru lub oba są zerami:

\(\cos{(2x+\frac{\pi}{4})}=0 \ lub \ \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=0\)

Rozwiązaniem ogólnym równania \(cosu=a (|a|<1)\) jest:

\(u=u_0+2k\pi \ lub \ u=-u_0+2k\pi, \ k\in C\)

Wiedząc, że \(\cos{\frac{\pi}{2}=0\) i traktując nawias pod funkcją cosinus jak zmienną u możemy napisać od razu rozwiązanie:

\(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ 2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ 3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

\(2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ 2x=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 3x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ \vee \ 3x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\)

\(2x=\pm \frac{\pi}{4}+2k\pi/:2\ \vee \ 3x=\pm \frac{3}{4}\pi+2k\pi/:3\)

\(x=\pm \frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\pm \frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-06-07, ZAD-1361

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.