Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\cos{5x}+\sin{x}=0\\ \cos{5x}+\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=0$
$2\cos{\frac{5x+(\frac{\pi}{2}-x)}{2}}\cos{\frac{5x-(\frac{\pi}{2}-x)}{2}}=0\\ 2\cos{(2x+\frac{\pi}{4})}\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=0$
$\cos{(2x+\frac{\pi}{4})}=0 \ lub \ \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=0$
$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ 2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ 2x=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\ 2x=\pm \frac{\pi}{4}+2k\pi/:2\ \vee \ 2x=\pm \frac{3}{4}\pi+2k\pi/:2\\ x=\pm \frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\pm \frac{3}{8}\pi+k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

Możemy w tym przypadku zastosować wzór na sumę funkcji trygonometrycznych pod warunkiem, że sinus wyrazimy za pomocą funkcji cosinus, korzystając ze wzoru redukcyjnego:

$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin{\alpha}$

Mamy więc:

$\cos{5x}+\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=0$

Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych:

$\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Mamy więc:

$2\cos{\frac{5x+(\frac{\pi}{2}-x)}{2}}\cos{\frac{5x-(\frac{\pi}{2}-x)}{2}}=0\\ 2\cos{(2x+\frac{\pi}{4})}\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=0$

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem lub drugi jest równy zeru lub oba są zerami:

$\cos{(2x+\frac{\pi}{4})}=0 \ lub \ \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=0$

Rozwiązaniem ogólnym równania cosu=a (|a|<1) jest:

$u=u_0+2k\pi \ lub \ u=-u_0+2k\pi, \ k\in C$

Wiedząc, że $\cos{\frac{\pi}{2}=0$ i traktując nawias pod funkcją cosinus jak zmienną u możemy napisać od razu rozwiązanie:

$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ 2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ 2x=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\ 2x=\pm \frac{\pi}{4}+2k\pi/:2\ \vee \ 2x=\pm \frac{3}{4}\pi+2k\pi/:2\\ x=\pm \frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\pm \frac{3}{8}\pi+k\pi, \ k\in C$