Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

Możemy w tym przypadku zastosować wzór na sumę funkcji trygonometrycznych pod warunkiem, że sinus wyrazimy za pomocą funkcji cosinus, korzystając ze wzoru redukcyjnego:

$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin{\alpha}$

Mamy więc:

$\cos{5x}+\cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=0$

Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych:

$\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Mamy więc:

$2\cos{\frac{5x+(\frac{\pi}{2}-x)}{2}}\cos{\frac{5x-(\frac{\pi}{2}-x)}{2}}=0\\ 2\cos{(2x+\frac{\pi}{4})}\cos{(3x-\frac{\pi}{4})}=0$

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem lub drugi jest równy zeru lub oba są zerami:

$\cos{(2x+\frac{\pi}{4})}=0 \ lub \ \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=0$

Rozwiązaniem ogólnym równania cosu=a (|a|<1) jest:

$u=u_0+2k\pi \ lub \ u=-u_0+2k\pi, \ k\in C$

Wiedząc, że $\cos{\frac{\pi}{2}=0$ i traktując nawias pod funkcją cosinus jak zmienną u możemy napisać od razu rozwiązanie:

$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ 2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ 3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee \ 2x=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 3x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ \vee \ 3x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\\ 2x=\pm \frac{\pi}{4}+2k\pi/:2\ \vee \ 3x=\pm \frac{3}{4}\pi+2k\pi/:3\\ x=\pm \frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\pm \frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\pm \frac{\pi}{8}+k\pi\ \vee \ x=\pm \frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.