Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązanie zadania

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

W pierwszej kolejności skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.

Otrzymujemy:

\(2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\)

\(2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0\)

Stosujemy podstawienie:

\(u=\sin{x}\)

\(2-2u^2+3u=0\)

\(-2u^2+3u+2=0\)

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:

\(\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot 2=25\)

\(\sqrt{\Delta}=5\)

\(u_1=\frac{-3-5}{-4}=2\)

\(u_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}\)

Wracamy do zmiennej \(x\) i otrzymujemy pierwsze równanie:

\(\sin{x}=2\)

\(x\in ∅\)

Równanie to nie ma rozwiązania, bo \(2 \notin <-1,1>\).

Otrzymujemy także drugie równanie:

\(u=-\frac{1}{2}\)

\(\sin{x}=-\frac{1}{2}\)

Wiemy, że \(\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\). Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

Zatem \(\sin{(-\frac{\pi}{6})}=-\frac{1}{2}\). Ponieważ szukamy najmniejszego dodatniego kąta, który spełnia powyższe równanie, skorzystamy z innego wzoru redukcyjnego:

czyli\(-\frac{1}{2}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{(\pi+\frac{\pi}{6})}=\sin{\frac{7}{6}\pi}\)

Mamy więc rozwiązanie podstawowe: \(x_0=\frac{7}{6}\pi\ lub \ x_0=\pi-\frac{7}{6}\pi=-\frac{\pi}{6}\)

Rozwiązanie ogólne:

\(x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-06-06, ZAD-1359

Zadania podobne

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.