Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0$
$u=\sin{x}\\ -2u^2+3u+2=0$
$\Delta=25\\ u_1=2\notin <-1,1>\\ u_2=-\frac{1}{2}$
$\sin{x}=-\frac{1}{2}$
$x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

W pierwszej kolejności skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

Otrzymujemy:

$2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0$

Stosujemy podstawienie:

$u=\sin{x}\\ 2-2u^2+3u=0\\ -2u^2+3u+2=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:

$\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot 2=25\\ \sqrt{\Delta}=5\\ u_1=\frac{-3-5}{-4}=2\\ u_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}$

Wracamy do zmiennej x i otrzymujemy pierwsze równanie:

$\sin{x}=2\\ x\in \empty$

Równanie to nie ma rozwiązania, bo $2 \notin <-1,1>$ .

Otrzymujemy także drugie równanie:

$u=-\frac{1}{2}\\ \sin{x}=-\frac{1}{2}$

Wiemy, że $\sin{\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ . Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\sin{(-x)}=-\sin{x}$

Zatem $\sin{(-\frac{\pi}{6})}=-\frac{1}{2}\$ . Ponieważ szukamy najmniejszego dodatniego kąta, który spełnia powyższe równanie, skorzystamy z innego wzoru redukcyjnego:

$\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{\alpha}$

czyli $-\frac{1}{2}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{(\pi+\frac{\pi}{6})}=\sin{\frac{7}{6}\pi}$

Mamy więc rozwiązanie podstawowe: $x_0=\frac{7}{6}\pi\ lub \ x_0=\pi-\frac{7}{6}\pi=-\frac{\pi}{6}$

Rozwiązanie ogólne:

$x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.