Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0$
$u=\sin{x}\\ -2u^2+3u+2=0$
$\Delta=25\\ u_1=2\notin <-1,1>\\ u_2=-\frac{1}{2}$
$\sin{x}=-\frac{1}{2}$
$x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

W pierwszej kolejności skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

Otrzymujemy:

$2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0$

Stosujemy podstawienie:

$u=\sin{x}\\ 2-2u^2+3u=0\\ -2u^2+3u+2=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:

$\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot 2=25\\ \sqrt{\Delta}=5\\ u_1=\frac{-3-5}{-4}=2\\ u_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}$

Wracamy do zmiennej x i otrzymujemy pierwsze równanie:

$\sin{x}=2\\ x\in \empty$

Równanie to nie ma rozwiązania, bo $2 \notin <-1,1>$ .

Otrzymujemy także drugie równanie:

$u=-\frac{1}{2}\\ \sin{x}=-\frac{1}{2}$

Wiemy, że $\sin{\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ . Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\sin{(-x)}=-\sin{x}$

Zatem $\sin{(-\frac{\pi}{6})}=-\frac{1}{2}\$ . Ponieważ szukamy najmniejszego dodatniego kąta, który spełnia powyższe równanie, skorzystamy z innego wzoru redukcyjnego:

$\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{\alpha}$

czyli $-\frac{1}{2}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{(\pi+\frac{\pi}{6})}=\sin{\frac{7}{6}\pi}$

Mamy więc rozwiązanie podstawowe: $x_0=\frac{7}{6}\pi\ lub \ x_0=\pi-\frac{7}{6}\pi=-\frac{\pi}{6}$

Rozwiązanie ogólne:

$x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania