Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0
u=\sin{x}\\ -2u^2+3u+2=0
\Delta=25\\ u_1=2\notin <-1,1>\\ u_2=-\frac{1}{2}
\sin{x}=-\frac{1}{2}
x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

W pierwszej kolejności skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1

Otrzymujemy:

2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0

Stosujemy podstawienie:

u=\sin{x}\\ 2-2u^2+3u=0\\ -2u^2+3u+2=0

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:

\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot 2=25\\ \sqrt{\Delta}=5\\ u_1=\frac{-3-5}{-4}=2\\ u_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}

Wracamy do zmiennej x i otrzymujemy pierwsze równanie:

\sin{x}=2\\ x\in \empty

Równanie to nie ma rozwiązania, bo 2 \notin <-1,1>.

Otrzymujemy także drugie równanie:

u=-\frac{1}{2}\\ \sin{x}=-\frac{1}{2}

Wiemy, że \sin{\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}. Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\sin{(-x)}=-\sin{x}

Zatem \sin{(-\frac{\pi}{6})}=-\frac{1}{2}\. Ponieważ szukamy najmniejszego dodatniego kąta, który spełnia powyższe równanie, skorzystamy z innego wzoru redukcyjnego:

\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{\alpha}

czyli -\frac{1}{2}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{(\pi+\frac{\pi}{6})}=\sin{\frac{7}{6}\pi}

Mamy więc rozwiązanie podstawowe: x_0=\frac{7}{6}\pi\ lub \ x_0=\pi-\frac{7}{6}\pi=-\frac{\pi}{6}

Rozwiązanie ogólne:

x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-06, ZAD-1359





Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.