Zadanie - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0
u=\sin{x}\\ -2u^2+3u+2=0
\Delta=25\\ u_1=2\notin <-1,1>\\ u_2=-\frac{1}{2}
\sin{x}=-\frac{1}{2}
x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

W pierwszej kolejności skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1

Otrzymujemy:

2(1-\sin^2{x})+3\sin{x}=0\\ 2-2\sin^2{x}+3\sin{x}=0

Stosujemy podstawienie:

u=\sin{x}\\ 2-2u^2+3u=0\\ -2u^2+3u+2=0

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:

\Delta=3^2-4\cdot(-2)\cdot 2=25\\ \sqrt{\Delta}=5\\ u_1=\frac{-3-5}{-4}=2\\ u_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}

Wracamy do zmiennej x i otrzymujemy pierwsze równanie:

\sin{x}=2\\ x\in \empty

Równanie to nie ma rozwiązania, bo 2 \notin <-1,1>.

Otrzymujemy także drugie równanie:

u=-\frac{1}{2}\\ \sin{x}=-\frac{1}{2}

Wiemy, że \sin{\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}. Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\sin{(-x)}=-\sin{x}

Zatem \sin{(-\frac{\pi}{6})}=-\frac{1}{2}\. Ponieważ szukamy najmniejszego dodatniego kąta, który spełnia powyższe równanie, skorzystamy z innego wzoru redukcyjnego:

\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{\alpha}

czyli -\frac{1}{2}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=\sin{(\pi+\frac{\pi}{6})}=\sin{\frac{7}{6}\pi}

Mamy więc rozwiązanie podstawowe: x_0=\frac{7}{6}\pi\ lub \ x_0=\pi-\frac{7}{6}\pi=-\frac{\pi}{6}

Rozwiązanie ogólne:

x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-06, ZAD-1359


Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.