Zadanie - równanie trygonometryczne
Treść zadania:
Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Rozwiązanie zadania
Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Stosujemy podstawienie:
\(u=2x-\frac{\pi}{4}\)
\(\cos{u}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Wiemy, że \(\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:
czyli:
\(-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos{\frac{\pi}{4}}=\cos{(\pi-\frac{\pi}{4})}=\cos{\frac{3}{4}\pi}\)
Możemy napisać więc rozwiązanie ogólne równanie zmiennej \(u\):
\(u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C\)
Wracamy do zmiennej \(x\):
\(2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C\)
\(2x=\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi/:2, \ k\in C\)
\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-06-06, ZAD-1360
Zadania podobne
Zadanie nr 9 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.