Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$u=2x-\frac{\pi}{4}\\ \cos{u}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos{\frac{\pi}{4}}=\cos{(\pi-\frac{\pi}{4})}=\cos{\frac{3}{4}\pi}$
$u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C$
$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi/:2, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Stosujemy podstawienie:

$u=2x-\frac{\pi}{4}\\ \cos{u}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Wiemy, że $\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}$

czyli:

$-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos{\frac{\pi}{4}}=\cos{(\pi-\frac{\pi}{4})}=\cos{\frac{3}{4}\pi}$

Możemy napisać więc rozwiązanie ogólne równanie zmiennej u:

$u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C$

Wracamy do zmiennej x:

$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi/:2, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C$