Logo Media Nauka

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

u=2x-\frac{\pi}{4}\\ \cos{u}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos{\frac{\pi}{4}}=\cos{(\pi-\frac{\pi}{4})}=\cos{\frac{3}{4}\pi}
u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C
2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi/:2, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego. Stosujemy podstawienie:

u=2x-\frac{\pi}{4}\\ \cos{u}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Wiemy, że \cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}

czyli:

-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos{\frac{\pi}{4}}=\cos{(\pi-\frac{\pi}{4})}=\cos{\frac{3}{4}\pi}

Możemy napisać więc rozwiązanie ogólne równanie zmiennej u:

u=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ u=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C

Wracamy do zmiennej x:

2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \vee \ 2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k\in C\\ 2x=\pi+2k\pi/:2 \ \vee \ 2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi/:2, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-06, ZAD-1360



Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.