Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Metoda podstawiania

Teoria Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po rozwiązaniu którego otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie: 2\cos^2{x}-3\cos{x}+1=0

Zastosujemy podstawienie: \cos{x}=t

i otrzymujemy: 2t^2-3t+1=0

czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je:

\Delta=1\\ t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\\ t_2=\frac{3+1}{4}=1

Wracamy do zmiennej x:

5

Mamy rozwiązanie podstawowe: 0, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}

Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań:x_1=2k\pi \ \vee \ x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C

Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych

Teoria Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie:

\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0

Przekształcamy równanie:

\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-1=0

Stosujemy tożsamość trygonometryczną: tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}} i otrzymujemy:

tgx-1=0\\ tgx=1

Rozwiązanie podstawowe to \frac{\pi}{4}, rozwiązanie ogólne: x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C

Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych

Teoria Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie:

\sin{x}-\cos{x}=-1

Przekształcimy je do postaci:

\sin{x}+1=\cos{x}/^2\\ \sin^2{x}+2\sin{x}+1=\cos^2{x}

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\sin^2{x}+2\sin{x}+1=1-\sin^2{x}\\ 2\sin^2{x}+2\sin{x}=0/:2\\ \sin{x}(\sin{x}+1)=0

Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:

\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}+1=0\\ \sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}=-1

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:

x=0 \ lub \ x=\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi

Dokonujemy sprawdzenia równania \sin{x}-\cos{x}=-1:

dla x=0: \sin{0}-\cos{0}=-1 \ \Leftrightarrow 0-1=-1 - zdanie prawdziwe
dla x=\pi: \sin{\pi}-\cos{\pi}=-1 \ \Leftrightarrow 0+1=-1 - zdanie nieprawdziwe
dla x=\frac{3}{2}\pi: \sin{\frac{3}{2}\pi}-\cos{\frac{3}{2}\pi}=-1 \ \Leftrightarrow -1-0=-1 - zdanie prawdziwe

Piszemy rozwiązanie ogólne: x=2k\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in C

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie ctg4x=1

Mamy:

4x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:4\ , \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}


© medianauka.pl, 2011-05-31, ART-1339






Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.