logo

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Metoda podstawiania

Teoria Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po rozwiązaniu którego otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie: 2\cos^2{x}-3\cos{x}+1=0

Zastosujemy podstawienie: \cos{x}=t

i otrzymujemy: 2t^2-3t+1=0

czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je:

\Delta=1\\ t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\\ t_2=\frac{3+1}{4}=1

Wracamy do zmiennej x:

5

Mamy rozwiązanie podstawowe: 0, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}

Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań:x_1=2k\pi \ \vee \ x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C

Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych

Teoria Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie:

\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0

Przekształcamy równanie:

\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-1=0

Stosujemy tożsamość trygonometryczną: tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}} i otrzymujemy:

tgx-1=0\\ tgx=1

Rozwiązanie podstawowe to \frac{\pi}{4}, rozwiązanie ogólne: x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C

Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych

Teoria Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie:

\sin{x}-\cos{x}=-1

Przekształcimy je do postaci:

\sin{x}+1=\cos{x}/^2\\ \sin^2{x}+2\sin{x}+1=\cos^2{x}

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\sin^2{x}+2\sin{x}+1=1-\sin^2{x}\\ 2\sin^2{x}+2\sin{x}=0/:2\\ \sin{x}(\sin{x}+1)=0

Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:

\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}+1=0\\ \sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}=-1

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:

x=0 \ lub \ x=\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi

Dokonujemy sprawdzenia równania \sin{x}-\cos{x}=-1:

dla x=0: \sin{0}-\cos{0}=-1 \ \Leftrightarrow 0-1=-1 - zdanie prawdziwe
dla x=\pi: \sin{\pi}-\cos{\pi}=-1 \ \Leftrightarrow 0+1=-1 - zdanie nieprawdziwe
dla x=\frac{3}{2}\pi: \sin{\frac{3}{2}\pi}-\cos{\frac{3}{2}\pi}=-1 \ \Leftrightarrow -1-0=-1 - zdanie prawdziwe

Piszemy rozwiązanie ogólne: x=2k\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in C

Przykład Przykład

Rozwiążemy równanie ctg4x=1

Mamy:

4x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:4\ , \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}




Zadania z rozwiązaniami

zadania
Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania


Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus

Wykres funkcji sinus

Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus

Wykres funkcji cosinus

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens

Wykres funkcji tangens

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens

Wykres funkcji cotangens

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów

Równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Nierówności trygonometryczne

Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.




© medianauka.pl, 2011-05-31, ART-1339





Polecamy w naszym sklepie

Matematyka - karty edukacyjne z pisakiem - klasa 1-3
Kolorowe skarpetki - smart owl - sowa
Matematyka olimpijska. Planimetria
Kolorowe skarpetki - kolorowe grochy
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.