Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne? Poznamy tu dwie metody. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych elementarnych omówiliśmy w poprzednim artykule (link na końcu artykułu).

Metoda podstawiania

Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po którego rozwiązaniu otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej, prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.

Przykład

Rozwiążemy równanie \(2\cos^2{x}-3\cos{x}+1=0\).

Zastosujemy podstawienie \(\cos{x}=t\) i otrzymujemy: \(2t^2-3t+1=0\), czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je.

\(\Delta=1\)

\( t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\)

\(t_2=\frac{3+1}{4}=1\)

Wracamy do zmiennej \(x\):

\(\cos{x}=1 \vee \cos{x}=\frac{1}{2}\)

Mamy rozwiązanie podstawowe \(0, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}\).

Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań:

\(x_1=2k\pi \ \vee \ x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\)

Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych

Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:

Przykład

Rozwiążemy równanie:

\(\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\)

Przekształcamy równanie:

\(\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\)

\( \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{\cos{x}}{\cos{x}}=0\)

\( \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-1=0\)

Stosujemy tożsamość trygonometryczną:

\(tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)

Otrzymujemy:

\(tgx-1=0\)

\(tgx=1\)

Rozwiązanie podstawowe to \(\frac{\pi}{4}\), rozwiązanie ogólne: \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C\).

Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych

Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:

Przykład 1

Rozwiążemy równanie \(\sin{x}-\cos{x}=-1\).

Przekształcimy je do postaci:

\(\sin{x}+1=\cos{x}/^2\)

\(\sin^2{x}+2\sin{x}+1=\cos^2{x}\)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\(\sin^2{x}+2\sin{x}+1=1-\sin^2{x}\)

\(2\sin^2{x}+2\sin{x}=0/:2\)

\( \sin{x}(\sin{x}+1)=0\)

Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:

\(\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}+1=0\)

\(\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}=-1\)

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:

\(x=0\) lub \( x=\pi\) lub \( x=\frac{3}{2}\pi\)

Dokonujemy sprawdzenia równania \(\sin{x}-\cos{x}=-1\):

  • Dla \(x=0\): \(\sin{0}-\cos{0}=-1 \ \Leftrightarrow 0-1=-1\) — zdanie prawdziwe.
  • Dla \(x=\pi\): \(\sin{\pi}-\cos{\pi}=-1 \ \Leftrightarrow 0+1=-1\) — zdanie nieprawdziwe.
  • Dla \(x=\frac{3}{2}\pi\): \(\sin{\frac{3}{2}\pi}-\cos{\frac{3}{2}\pi}=-1 \ \Leftrightarrow -1-0=-1\) — zdanie prawdziwe.

Piszemy rozwiązanie ogólne: \(x=2k\pi\) lub \(x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in C\).

Przykład 2

Rozwiążemy równanie \(ctg4x=1\).

Mamy:

\(4x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:4\ , \ k\in C\)

\(x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}\)



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9.

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2011-05-31, A-1339
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-09



©® Media Nauka 2008-2023 r.