Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Metoda podstawiania

Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po rozwiązaniu którego otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.

Przykład

Rozwiążemy równanie: $2\cos^2{x}-3\cos{x}+1=0$

Zastosujemy podstawienie: $\cos{x}=t$

i otrzymujemy:

czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je:

$\Delta=1\\ t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\\ t_2=\frac{3+1}{4}=1$

Wracamy do zmiennej x:

Mamy rozwiązanie podstawowe: $0, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$

Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań: $x_1=2k\pi \ \vee \ x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C$

Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych

Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:

Przykład

Rozwiążemy równanie:

$\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0$

Przekształcamy równanie:

$\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-1=0$

Stosujemy tożsamość trygonometryczną: $tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ i otrzymujemy:

$tgx-1=0\\ tgx=1$

Rozwiązanie podstawowe to $\frac{\pi}{4}$ , rozwiązanie ogólne: $x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C$

Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych

Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:

Przykład

Rozwiążemy równanie:

$\sin{x}-\cos{x}=-1$

Przekształcimy je do postaci:

$\sin{x}+1=\cos{x}/^2\\ \sin^2{x}+2\sin{x}+1=\cos^2{x}$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2{x}+2\sin{x}+1=1-\sin^2{x}\\ 2\sin^2{x}+2\sin{x}=0/:2\\ \sin{x}(\sin{x}+1)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:

$\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}+1=0\\ \sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}=-1$

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:

$x=0 \ lub \ x=\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi$

Dokonujemy sprawdzenia równania $\sin{x}-\cos{x}=-1$ :

dla x=0: $\sin{0}-\cos{0}=-1 \ \Leftrightarrow 0-1=-1$ - zdanie prawdziwe
dla x= $\pi$ : $\sin{\pi}-\cos{\pi}=-1 \ \Leftrightarrow 0+1=-1$ - zdanie nieprawdziwe
dla x= $\frac{3}{2}\pi$ : $\sin{\frac{3}{2}\pi}-\cos{\frac{3}{2}\pi}=-1 \ \Leftrightarrow -1-0=-1$ - zdanie prawdziwe

Piszemy rozwiązanie ogólne: $x=2k\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in C$

Przykład

Rozwiążemy równanie

Mamy:

$4x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:4\ , \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie cos 2x = sin x +1 w przedziale ⟨0,2π⟩.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie 3cos2x +10 cos²x = 24sinx − 3 dla x∈⟨0, 2π⟩.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus

Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.