Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Metoda podstawiania
Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po rozwiązaniu którego otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.
Przykład
Rozwiążemy równanie:
Zastosujemy podstawienie:
i otrzymujemy:
czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je:
Wracamy do zmiennej x:
Mamy rozwiązanie podstawowe:
Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań:
Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych
Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:
Przykład
Rozwiążemy równanie:
Przekształcamy równanie:
Stosujemy tożsamość trygonometryczną: i otrzymujemy:
Rozwiązanie podstawowe to , rozwiązanie ogólne:
Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych
Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:
Przykład
Rozwiążemy równanie:
Przekształcimy je do postaci:
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:
Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:
Dokonujemy sprawdzenia równania :
dla x=0: - zdanie prawdziwe
dla x=:
- zdanie nieprawdziwe
dla x=:
- zdanie prawdziwe
Piszemy rozwiązanie ogólne:
Przykład
Rozwiążemy równanie
Mamy:
© medianauka.pl, 2011-05-31, ART-1339
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)
b)
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: .
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie:
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Inne zagadnienia z tej lekcji

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.