Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne? Poznamy tu dwie metody. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych elementarnych omówiliśmy w poprzednim artykule (link na końcu artykułu).

Metoda podstawiania

Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po którego rozwiązaniu otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej, prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.

Przykład

Rozwiążemy równanie \(2\cos^2{x}-3\cos{x}+1=0\).

Zastosujemy podstawienie \(\cos{x}=t\) i otrzymujemy: \(2t^2-3t+1=0\), czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je.

\(\Delta=1\)

\( t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\)

\(t_2=\frac{3+1}{4}=1\)

Wracamy do zmiennej \(x\):

\(\cos{x}=1 \vee \cos{x}=\frac{1}{2}\)

Mamy rozwiązanie podstawowe \(0, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}\).

Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań:

\(x_1=2k\pi \ \vee \ x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C\)

Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych

Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:

Przykład

Rozwiążemy równanie:

\(\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\)

Przekształcamy równanie:

\(\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\)

\( \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{\cos{x}}{\cos{x}}=0\)

\( \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-1=0\)

Stosujemy tożsamość trygonometryczną:

\(tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)

Otrzymujemy:

\(tgx-1=0\)

\(tgx=1\)

Rozwiązanie podstawowe to \(\frac{\pi}{4}\), rozwiązanie ogólne: \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C\).

Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych

Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:

Przykład 1

Rozwiążemy równanie \(\sin{x}-\cos{x}=-1\).

Przekształcimy je do postaci:

\(\sin{x}+1=\cos{x}/^2\)

\(\sin^2{x}+2\sin{x}+1=\cos^2{x}\)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\(\sin^2{x}+2\sin{x}+1=1-\sin^2{x}\)

\(2\sin^2{x}+2\sin{x}=0/:2\)

\( \sin{x}(\sin{x}+1)=0\)

Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:

\(\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}+1=0\)

\(\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}=-1\)

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:

\(x=0\) lub \( x=\pi\) lub \( x=\frac{3}{2}\pi\)

Dokonujemy sprawdzenia równania \(\sin{x}-\cos{x}=-1\):

Dla \(x=0\): \(\sin{0}-\cos{0}=-1 \ \Leftrightarrow 0-1=-1\) — zdanie prawdziwe.
Dla \(x=\pi\): \(\sin{\pi}-\cos{\pi}=-1 \ \Leftrightarrow 0+1=-1\) — zdanie nieprawdziwe.
Dla \(x=\frac{3}{2}\pi\): \(\sin{\frac{3}{2}\pi}-\cos{\frac{3}{2}\pi}=-1 \ \Leftrightarrow -1-0=-1\) — zdanie prawdziwe.

Piszemy rozwiązanie ogólne: \(x=2k\pi\) lub \(x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in C\).