Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Metoda podstawiania
Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po rozwiązaniu którego otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.
Przykład
Rozwiążemy równanie:
Zastosujemy podstawienie:
i otrzymujemy:
czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je:
Wracamy do zmiennej x:
Mamy rozwiązanie podstawowe:
Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań:
Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych
Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:
Przykład
Rozwiążemy równanie:
Przekształcamy równanie:
Stosujemy tożsamość trygonometryczną: i otrzymujemy:
Rozwiązanie podstawowe to , rozwiązanie ogólne:
Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych
Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:
Przykład
Rozwiążemy równanie:
Przekształcimy je do postaci:
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:
Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:
Dokonujemy sprawdzenia równania :
dla x=0: - zdanie prawdziwe
dla x=:
- zdanie nieprawdziwe
dla x=:
- zdanie prawdziwe
Piszemy rozwiązanie ogólne:
Przykład
Rozwiążemy równanie
Mamy:
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 10 — maturalne.
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie cos 2x = sin x +1 w przedziale 〈0,2π〉.
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie 3cos2x +10 cos2x = 24sinx − 3 dla x∈〈0, 2π〉.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.
Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.
Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji
Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.
Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.
Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.
Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
© medianauka.pl, 2011-05-31, ART-1339