Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Metoda podstawiania

Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po rozwiązaniu którego otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.

Przykład

Rozwiążemy równanie: $2\cos^2{x}-3\cos{x}+1=0$

Zastosujemy podstawienie: $\cos{x}=t$

i otrzymujemy:

czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je:

$\Delta=1\\ t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\\ t_2=\frac{3+1}{4}=1$

Wracamy do zmiennej x:

Mamy rozwiązanie podstawowe: $0, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$

Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań: $x_1=2k\pi \ \vee \ x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C$

Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych

Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:

Przykład

Rozwiążemy równanie:

$\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0$

Przekształcamy równanie:

$\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-1=0$

Stosujemy tożsamość trygonometryczną: $tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ i otrzymujemy:

$tgx-1=0\\ tgx=1$

Rozwiązanie podstawowe to $\frac{\pi}{4}$ , rozwiązanie ogólne: $x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C$

Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych

Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:

Przykład

Rozwiążemy równanie:

$\sin{x}-\cos{x}=-1$

Przekształcimy je do postaci:

$\sin{x}+1=\cos{x}/^2\\ \sin^2{x}+2\sin{x}+1=\cos^2{x}$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2{x}+2\sin{x}+1=1-\sin^2{x}\\ 2\sin^2{x}+2\sin{x}=0/:2\\ \sin{x}(\sin{x}+1)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:

$\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}+1=0\\ \sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}=-1$

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:

$x=0 \ lub \ x=\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi$

Dokonujemy sprawdzenia równania $\sin{x}-\cos{x}=-1$ :

dla x=0: $\sin{0}-\cos{0}=-1 \ \Leftrightarrow 0-1=-1$ - zdanie prawdziwe
dla x= $\pi$ : $\sin{\pi}-\cos{\pi}=-1 \ \Leftrightarrow 0+1=-1$ - zdanie nieprawdziwe
dla x= $\frac{3}{2}\pi$ : $\sin{\frac{3}{2}\pi}-\cos{\frac{3}{2}\pi}=-1 \ \Leftrightarrow -1-0=-1$ - zdanie prawdziwe