Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Metoda podstawiania

Jedną z metod rozwiązywanie równań trygonometrycznych jest metoda podstawiania. W równaniu trygonometrycznym można zastosować zmienną pomocniczą, w wyniku czego otrzymujemy zwykle zwykłe równanie algebraiczne, po rozwiązaniu którego otrzymujemy pierwiastki, które przy zastosowaniu pierwotnej zmiennej prowadzą do równań trygonometrycznych elementarnych.

Przykład

Rozwiążemy równanie: $2\cos^2{x}-3\cos{x}+1=0$

Zastosujemy podstawienie: $\cos{x}=t$

i otrzymujemy:

czyli równanie kwadratowe. Rozwiązujemy je:

$\Delta=1\\ t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\\ t_2=\frac{3+1}{4}=1$

Wracamy do zmiennej x:

Mamy rozwiązanie podstawowe: $0, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$

Możemy zapisać rozwiązanie ogólne obu równań: $x_1=2k\pi \ \vee \ x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k\in C$

Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych

Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych staramy się korzystać z tożsamości trygonometrycznych tak, aby doprowadzić równanie do postaci równania elementarnego lub takiego, dla którego można zastosować inne metody rozwiązywania równań. Oto prosty przykład:

Przykład

Rozwiążemy równanie:

$\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0$

Przekształcamy równanie:

$\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{\cos{x}}{\cos{x}}=0\\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}-1=0$

Stosujemy tożsamość trygonometryczną: $tgx=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ i otrzymujemy:

$tgx-1=0\\ tgx=1$

Rozwiązanie podstawowe to $\frac{\pi}{4}$ , rozwiązanie ogólne: $x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in C$

Metoda równań równoważnych i analizy starożytnych

Metoda analizy starożytnych została omówiona tutaj, natomiast metoda równań równoważnych w tym artykule. Zastosujemy je na poniższym przykładzie:

Przykład

Rozwiążemy równanie:

$\sin{x}-\cos{x}=-1$

Przekształcimy je do postaci:

$\sin{x}+1=\cos{x}/^2\\ \sin^2{x}+2\sin{x}+1=\cos^2{x}$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2{x}+2\sin{x}+1=1-\sin^2{x}\\ 2\sin^2{x}+2\sin{x}=0/:2\\ \sin{x}(\sin{x}+1)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy jedna z nich jest zerem lub obie są równe zeru, więc:

$\sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}+1=0\\ \sin{x}=0 \ \vee \ \sin{x}=-1$

Otrzymujemy rozwiązanie podstawowe:

$x=0 \ lub \ x=\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi$

Dokonujemy sprawdzenia równania $\sin{x}-\cos{x}=-1$ :

dla x=0: $\sin{0}-\cos{0}=-1 \ \Leftrightarrow 0-1=-1$ - zdanie prawdziwe
dla x= $\pi$ : $\sin{\pi}-\cos{\pi}=-1 \ \Leftrightarrow 0+1=-1$ - zdanie nieprawdziwe
dla x= $\frac{3}{2}\pi$ : $\sin{\frac{3}{2}\pi}-\cos{\frac{3}{2}\pi}=-1 \ \Leftrightarrow -1-0=-1$ - zdanie prawdziwe

Piszemy rozwiązanie ogólne: $x=2k\pi \ lub \ x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in C$

Przykład

Rozwiążemy równanie

Mamy:

$4x=\frac{\pi}{4}+k\pi/:4\ , \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)
b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens
Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni
Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych
Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus
Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus
Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens
Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens
Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne
Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów

Równania trygonometryczne
Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Nierówności trygonometryczne
Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.