Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Nierówności trygonometryczne

Definicja Definicja

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Przykład Przykład

Przykłady nierówności trygonometrycznych:

\sin{x}<\sqrt{2}\\ tg(x-\frac{\pi}{2})\leq -1\\ \sin{x}\geq\cos{x}

Teoria Rozwiązanie prostych nierówności najlepiej przeprowadzić w taki sposób, aby po jednej stronie nierówności znalazło się wyrażenie trygonometryczne elementarne (patrz równania trygonometryczne), a po drugiej wyrażenie liczbowe. Wówczas sporządzając odpowiedni wykres, można odczytać rozwiązanie.

Przykład Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność:

\sin{x}\geq \frac{1}{2}

Sporządzamy wykresy funkcji: y=\sin{x}, \ y=\frac{1}{2} i zaznaczamy wszystkie wartości funkcji sinus, które leżą powyżej lub na prostej y=\frac{1}{2}

Sporządzamy wykres:

wykres - nierówności trygonometryczne

Zaznaczamy rozwiązania równania trygonometrycznego \sin{x}=\frac{1}{2}, którego interpretacją geometryczną są punkty przecięcia obu wykresów. Jest to rozwiązanie równania elementarnego:

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C

Wszystkie wartości funkcji sinus większe 1/2 lub równa 1/2 zawierają się w przedziale: <\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5}{6}\pi+2k\pi>, \ k\in C.

Rozwiązanie zaznaczono na rysunku poprzez zakreskowanie odpowiednich obszarów.


© medianauka.pl, 2011-06-08, ART-1363






Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - nierówność trygonometryczna
Rozwiązać nierówność:
a) tgx\leq \sqrt{3}
b) 2\cos{x}>4

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność trygonometryczna
Rozwiązać nierówność:
a) \sin{(3x-\frac{\pi}{2})}<\sqrt{2}
b) ctg3x<1

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozwiąż nierówność \frac{2cos{x}-\sqrt{3}}{cos^2x}<0 w przedziale \langle 0;2\pi\rangle.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.