Nierówności trygonometryczne

Definicja Definicja

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Przykład Przykład

Przykłady nierówności trygonometrycznych:

\sin{x}<\sqrt{2}\\ tg(x-\frac{\pi}{2})\leq -1\\ \sin{x}\geq\cos{x}

Teoria Rozwiązanie prostych nierówności najlepiej przeprowadzić w taki sposób, aby po jednej stronie nierówności znalazło się wyrażenie trygonometryczne elementarne (patrz równania trygonometryczne), a po drugiej wyrażenie liczbowe. Wówczas sporządzając odpowiedni wykres, można odczytać rozwiązanie.

Przykład Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność:

\sin{x}\geq \frac{1}{2}

Sporządzamy wykresy funkcji: y=\sin{x}, \ y=\frac{1}{2} i zaznaczamy wszystkie wartości funkcji sinus, które leżą powyżej lub na prostej y=\frac{1}{2}

Sporządzamy wykres:

wykres - nierówności trygonometryczne

Zaznaczamy rozwiązania równania trygonometrycznego \sin{x}=\frac{1}{2}, którego interpretacją geometryczną są punkty przecięcia obu wykresów. Jest to rozwiązanie równania elementarnego:

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C

Wszystkie wartości funkcji sinus większe 1/2 lub równa 1/2 zawierają się w przedziale: <\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5}{6}\pi+2k\pi>, \ k\in C.

Rozwiązanie zaznaczono na rysunku poprzez zakreskowanie odpowiednich obszarów.




Zadania z rozwiązaniami

zadania
Zadania związane z tematem:
Nierówności trygonometryczne

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność trygonometryczna
Rozwiązać nierówność:
a) tgx\leq \sqrt{3}
b) 2\cos{x}>4

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność trygonometryczna
Rozwiązać nierówność:
a) \sin{(3x-\frac{\pi}{2})}<\sqrt{2}
b) ctg3x<1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozwiąż nierówność \frac{2cos{x}-\sqrt{3}}{cos^2x}<0 w przedziale \langle 0;2\pi\rangle.

Pokaż rozwiązanie zadania


Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus

Wykres funkcji sinus

Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus

Wykres funkcji cosinus

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens

Wykres funkcji tangens

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens

Wykres funkcji cotangens

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów

Równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych




© medianauka.pl, 2011-06-08, ART-1363



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.