Nierówności trygonometryczne

Definicja

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Przykład

Przykłady nierówności trygonometrycznych:

$\sin{x}<\sqrt{2}\\ tg(x-\frac{\pi}{2})\leq -1\\ \sin{x}\geq\cos{x}$

Rozwiązanie prostych nierówności najlepiej przeprowadzić w taki sposób, aby po jednej stronie nierówności znalazło się wyrażenie trygonometryczne elementarne (patrz równania trygonometryczne), a po drugiej wyrażenie liczbowe. Wówczas sporządzając odpowiedni wykres, można odczytać rozwiązanie.

Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność:

$\sin{x}\geq \frac{1}{2}$

Sporządzamy wykresy funkcji: $y=\sin{x}, \ y=\frac{1}{2}$ i zaznaczamy wszystkie wartości funkcji sinus, które leżą powyżej lub na prostej $y=\frac{1}{2}$

Sporządzamy wykres:

Zaznaczamy rozwiązania równania trygonometrycznego $\sin{x}=\frac{1}{2}$ , którego interpretacją geometryczną są punkty przecięcia obu wykresów. Jest to rozwiązanie równania elementarnego:

$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C$

Wszystkie wartości funkcji sinus większe 1/2 lub równa 1/2 zawierają się w przedziale: $<\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5}{6}\pi+2k\pi>, \ k\in C$ .

Rozwiązanie zaznaczono na rysunku poprzez zakreskowanie odpowiednich obszarów.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązać nierówność:
a) $tgx\leq \sqrt{3}$
b) $2\cos{x}>4$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność:
a) $\sin{(3x-\frac{\pi}{2})}<\sqrt{2}$
b)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Rozwiąż nierówność $\frac{2cos{x}-\sqrt{3}}{cos^2x}<0$ w przedziale $\langle 0;2\pi\rangle$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus

Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych