Logo Media Nauka

Nierówności trygonometryczne

Definicja Definicja

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Przykład Przykład

Przykłady nierówności trygonometrycznych:

\sin{x}<\sqrt{2}\\ tg(x-\frac{\pi}{2})\leq -1\\ \sin{x}\geq\cos{x}

Teoria Rozwiązanie prostych nierówności najlepiej przeprowadzić w taki sposób, aby po jednej stronie nierówności znalazło się wyrażenie trygonometryczne elementarne (patrz równania trygonometryczne), a po drugiej wyrażenie liczbowe. Wówczas sporządzając odpowiedni wykres, można odczytać rozwiązanie.

Przykład Przykład

Rozwiążemy graficznie nierówność:

\sin{x}\geq \frac{1}{2}

Sporządzamy wykresy funkcji: y=\sin{x}, \ y=\frac{1}{2} i zaznaczamy wszystkie wartości funkcji sinus, które leżą powyżej lub na prostej y=\frac{1}{2}

Sporządzamy wykres:

wykres - nierówności trygonometryczne

Zaznaczamy rozwiązania równania trygonometrycznego \sin{x}=\frac{1}{2}, którego interpretacją geometryczną są punkty przecięcia obu wykresów. Jest to rozwiązanie równania elementarnego:

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi, \ k\in C

Wszystkie wartości funkcji sinus większe 1/2 lub równa 1/2 zawierają się w przedziale: <\frac{\pi}{6}+2k\pi;\frac{5}{6}\pi+2k\pi>, \ k\in C.

Rozwiązanie zaznaczono na rysunku poprzez zakreskowanie odpowiednich obszarów.


© medianauka.pl, 2011-06-08, ART-1363





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Nierówności trygonometryczne

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność trygonometryczna
Rozwiązać nierówność:
a) tgx\leq \sqrt{3}
b) 2\cos{x}>4

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność trygonometryczna
Rozwiązać nierówność:
a) \sin{(3x-\frac{\pi}{2})}<\sqrt{2}
b) ctg3x<1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozwiąż nierówność \frac{2cos{x}-\sqrt{3}}{cos^2x}<0 w przedziale \langle 0;2\pi\rangle.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangensFunkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens
Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.
Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopniSinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni
Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.
Nauka wartości funkcji trygonometrycznychNauka wartości funkcji trygonometrycznych
Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji
Wykres funkcji sinusWykres funkcji sinus
Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.
Wykres funkcji cosinusWykres funkcji cosinus
Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.
Wykres funkcji tangensWykres funkcji tangens
Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.
Wykres funkcji cotangensWykres funkcji cotangens
Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.
Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczneWzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne
Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.
Wzory redukcyjneWzory redukcyjne
Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensówTwierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów
Równania trygonometryczneRównania trygonometryczne
Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznychRozwiązywanie równań trygonometrycznych
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych



© Media Nauka 2008-2018 r.