Nauka » Matematyka » Nierówności trygonometryczne

Zadanie maturalne nr 11, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Rozwiąż nierówność $\frac{2cos{x}-\sqrt{3}}{cos^2x}<0$ w przedziale $\langle 0;2\pi\rangle$ .

Rozwiązanie zadania

Określimy najpierw dziedzinę nierówności:

$cos^2{x}\neq 0\\ cos{x}\neq 0\\ x\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi \vee x\neq -\frac{\pi}{2}+2k\pi$

W przedziale $\langle 0;2\pi\rangle$ dziedzina naszej nierówności jest określona następująco:

$x\neq \frac{\pi}{2}$

Dalej zauważamy, że mianownik ułamka po lewej stronie nierówności jest dodatni (kwadrat dowolnej liczby jest zawsze dodatni). W takim przypadku aby cały ułamek był ujemny, nasz licznik musi być ujemny.

$2cos{x}-\sqrt{3}<0\\2cos{x}<\sqrt{3}\\cos{x}<\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dla kąta π/6 cosinus przyjmuje wartość równą prawej stronie naszej nierówności elementarnej. Rozwiązanie odczytamy z wykresu.

zadanie maturalne nr 11, matura 2016 - ilustracja.

Odpowiedź

$x\in(\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2})\cup (\frac{3\pi}{2};\frac{11\pi}{6})$

Zadania podobne

Zadanie - nierówność trygonometryczna
Rozwiązać nierówność:
a) $tgx\leq \sqrt{3}$
b) $2\cos{x}>4$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówność trygonometryczna
Rozwiązać nierówność:
a) $\sin{(3x-\frac{\pi}{2})}<\sqrt{2}$
b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.