Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - równanie trygonometryczne


Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\\ 2\sin{3x}\cos{(-x)}=0
2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\\ \sin{3x}\cos{x}=0
\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0
3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

Możemy w tym przypadku zastosować wzór na sumę funkcji trygonometrycznych:

\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}

Mamy więc:

2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\\ 2\sin{3x}\cos{(-x)}=0

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}

Otrzymujemy:

2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\\ \sin{3x}\cos{x}=0

Iloczyn dwóch czynników jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zeru:

\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0

Otrzymaliśmy równania trygonometryczne elementarne, których rozwiązanie jest następujące:

3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-07, ZAD-1362





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.