Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\\ 2\sin{3x}\cos{(-x)}=0$
$2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\\ \sin{3x}\cos{x}=0$
$\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0$
$3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

Możemy w tym przypadku zastosować wzór na sumę funkcji trygonometrycznych:

$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Mamy więc:

$2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\\ 2\sin{3x}\cos{(-x)}=0$

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}$

Otrzymujemy:

$2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\\ \sin{3x}\cos{x}=0$

Iloczyn dwóch czynników jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zeru:

$\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0$

Otrzymaliśmy równania trygonometryczne elementarne, których rozwiązanie jest następujące:

$3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C$