Logo Media Nauka

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\\ 2\sin{3x}\cos{(-x)}=0
2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\\ \sin{3x}\cos{x}=0
\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0
3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

Możemy w tym przypadku zastosować wzór na sumę funkcji trygonometrycznych:

\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}

Mamy więc:

2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\\ 2\sin{3x}\cos{(-x)}=0

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}

Otrzymujemy:

2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\\ \sin{3x}\cos{x}=0

Iloczyn dwóch czynników jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zeru:

\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0

Otrzymaliśmy równania trygonometryczne elementarne, których rozwiązanie jest następujące:

3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-07, ZAD-1362



Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.