Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\\ 2\sin{3x}\cos{(-x)}=0$
$2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\\ \sin{3x}\cos{x}=0$
$\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0$
$3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Doprowadzamy nasze równanie do postaci równania trygonometrycznego elementarnego.

Możemy w tym przypadku zastosować wzór na sumę funkcji trygonometrycznych:

$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Mamy więc:

$2\sin{\frac{2x+4x}{2}}\cos{\frac{2x-4x}{2}}=0\\ 2\sin{3x}\cos{(-x)}=0$

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}$

Otrzymujemy:

$2\sin{3x}\cos{x}=0/:2\\ \sin{3x}\cos{x}=0$

Iloczyn dwóch czynników jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy zeru:

$\sin{3x}=0 \ \vee \ \cos{x}=0$

Otrzymaliśmy równania trygonometryczne elementarne, których rozwiązanie jest następujące:

$3x=2k\pi \ \vee \ 3x=(\pi-0)+2k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C\\ x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C$

Odpowiedź

$x=\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \ \vee \ x=\pm\frac{\pi}{2}+ 2k\pi, \ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania