Logo Media Nauka

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: 1-\sin^2{x}=\cos{x}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

1-\sin^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}-\cos{x}=0\\ \cos{x}(\cos{x}-1)=0\\ \cos{x}=0\ \vee \ \cos{x}-1=0\\ \cos{x}=0\ \vee \ \cos{x}=1\\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi,\ k\in C

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nasze równanie tak, aby doprowadzić je do postaci równania lub równań trygonometrycznych elementarnych. Skorzystamy w pierwszej kolejności z jedynki trygonometrycznej:

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\ \cos^2{x}=1-\sin^2{x}

Otrzymujemy

1-\sin^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}-\cos{x}=0\\ \cos{x}(\cos{x}-1)=0

Iloczyn dwóch czynników jest zerem, gdy jeden z nich jest równy zeru lub oba są równe zeru. Mamy więc:

\cos{x}=0\ lub \ \cos{x}-1=0\\ \cos{x}=0\ lub \ \cos{x}=1

Otrzymaliśmy dwa równania trygonometryczne elementarne. Pamiętamy, że rozwiązaniem podstawowym równania cosx=a (-1<a<1)są kąty \alpha, \ -\alpha, rozwiązanie ogólne jest następujące:

(\cos{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=-x_0+2k\pi,\ k\in C

Dla równania cosx=1 rozwiązania podstawowe są sobie równe (cos0=1, 0=-0)

Dla równania cosx=0 rozwiązanie podstawowe to kąty \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2},\ (\cos{\frac{\pi}{2}}=0)

Mamy więc rozwiązanie ogólne:

ksiązki Odpowiedź

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi,\ k\in C

© medianauka.pl, 2011-06-04, ZAD-1351



Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) tg2x=1
b) \sqrt{2}\sin{2x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: 2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: 2\cos^2{x}+3\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \cos{5x}+\sin{x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: \sin{2x}+\sin{4x}=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.