Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1-\sin^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}-\cos{x}=0\\ \cos{x}(\cos{x}-1)=0\\ \cos{x}=0\ \vee \ \cos{x}-1=0\\ \cos{x}=0\ \vee \ \cos{x}=1\\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi,\ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nasze równanie tak, aby doprowadzić je do postaci równania lub równań trygonometrycznych elementarnych. Skorzystamy w pierwszej kolejności z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\ \cos^2{x}=1-\sin^2{x}$

Otrzymujemy

$1-\sin^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}-\cos{x}=0\\ \cos{x}(\cos{x}-1)=0$

Iloczyn dwóch czynników jest zerem, gdy jeden z nich jest równy zeru lub oba są równe zeru. Mamy więc:

$\cos{x}=0\ lub \ \cos{x}-1=0\\ \cos{x}=0\ lub \ \cos{x}=1$

Otrzymaliśmy dwa równania trygonometryczne elementarne. Pamiętamy, że rozwiązaniem podstawowym równania cosx=a (-1<a<1)są kąty $\alpha, \ -\alpha$ , rozwiązanie ogólne jest następujące:

$(\cos{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=-x_0+2k\pi,\ k\in C$

Dla równania cosx=1 rozwiązania podstawowe są sobie równe (cos0=1, 0=-0)

Dla równania cosx=0 rozwiązanie podstawowe to kąty $\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2},\ (\cos{\frac{\pi}{2}}=0)$

Mamy więc rozwiązanie ogólne:

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi,\ k\in C$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.