Strona główna » Matematyka » Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

zadanie

Zadanie - równanie trygonometryczne

Rozwiązać równanie: $1-\sin^2{x}=\cos{x}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$1-\sin^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}-\cos{x}=0\\ \cos{x}(\cos{x}-1)=0\\ \cos{x}=0\ \vee \ \cos{x}-1=0\\ \cos{x}=0\ \vee \ \cos{x}=1\\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi,\ k\in C$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcamy nasze równanie tak, aby doprowadzić je do postaci równania lub równań trygonometrycznych elementarnych. Skorzystamy w pierwszej kolejności z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\ \cos^2{x}=1-\sin^2{x}$

Otrzymujemy

$1-\sin^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}=\cos{x}\\ \cos^2{x}-\cos{x}=0\\ \cos{x}(\cos{x}-1)=0$

Iloczyn dwóch czynników jest zerem, gdy jeden z nich jest równy zeru lub oba są równe zeru. Mamy więc:

$\cos{x}=0\ lub \ \cos{x}-1=0\\ \cos{x}=0\ lub \ \cos{x}=1$

Otrzymaliśmy dwa równania trygonometryczne elementarne. Pamiętamy, że rozwiązaniem podstawowym równania cosx=a (-1<a<1)są kąty $\alpha, \ -\alpha$ , rozwiązanie ogólne jest następujące:

$(\cos{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=-x_0+2k\pi,\ k\in C$

Dla równania cosx=1 rozwiązania podstawowe są sobie równe (cos0=1, 0=-0)

Dla równania cosx=0 rozwiązanie podstawowe to kąty $\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2},\ (\cos{\frac{\pi}{2}}=0)$

Mamy więc rozwiązanie ogólne:

Odpowiedź

$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee \ x=2k\pi,\ k\in C$

© medianauka.pl, 2011-06-04, ZAD-1351

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$ .

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1$

Zadanie - równanie trygonometyczne
Rozwiązać równanie: $2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1$

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $2\cos^2{x}+3\sin{x}=0$

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\cos{5x}+\sin{x}=0$

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie: $\sin{2x}+\sin{4x}=0$

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Zegar ścienny - Paris Wood

Zegar ścienny - Paris Wood

Nietoperze Polski

Nietoperze Polski
Konrad Sachanowicz, Mateusz Ciechanowski

Papużki faliste

Papużki faliste
Marcin Jan Gorazdowski

Atlas ryb polskich

Atlas ryb polskich
dr hab. inż. Bogdan Wziątek, Łukasz Kolasa

© Media Nauka 2008-2017 r.