Logo Serwisu Media Nauka


Wzory redukcyjne

Teoria W poniższe tabeli zestawiono wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.

Wzory redukcyjne dla kąta -α

Dla kąta -\alpha
\sin{(-\alpha)}=-\sin{\alpha}
\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}
tg{(-\alpha)}=-tg{\alpha}
ctg{(-\alpha)}=-ctg{\alpha}

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne dla kąta 180°-α oraz 180°+α

Dla kąta 180°-αDla kąta 180°+α
\sin{(180^o-\alpha)}=\sin{\alpha}?\sin{(180^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}
\cos{(180^o-\alpha)}=-\cos{\alpha}4\cos{(180^o+\alpha)}=-\cos{\alpha}
tg{(180^o-\alpha)}=-tg{\alpha}tg{(180^o+\alpha)}=tg{\alpha}
ctg{(180^o-\alpha)}=-ctg{\alpha}ctg{(180^o+\alpha)}=ctg{\alpha}

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α

Dla kąta 90°-αDla kąta 90°+α
\sin{(90^o-\alpha)}=\cos{\alpha}\sin{(90^o+\alpha)}=\cos{\alpha}
\cos{(90^o-\alpha)}=\sin{\alpha}\cos{(90^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}
tg{(90^o-\alpha)}=ctg{\alpha}tg{(90^o+\alpha)}=-ctg{\alpha}
ctg{(90^o-\alpha)}=tg{\alpha}ctg{(90^o+\alpha)}=-tg{\alpha}

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne związane z okresem funkcji trygonometrycznej

Dla dowolnej liczby całkowitej k
\sin{(\alpha+k\cdot 360^o)}=\sin{\alpha}
\cos{(\alpha+k\cdot 360^o)}=\cos{\alpha}
tg{(\alpha+k\cdot 180^o)}=tg{\alpha}
ctg{(\alpha+k\cdot 180^o)}=ctg{\alpha}

Wzory redukcyjne dla kąta 45°-α oraz 45°+α

Dla kąta 45°-α oraz 45°+α
\sin{(45^o+\alpha)}=\cos{(45^o-\alpha)}
\cos{(45^o+\alpha)}=\sin{(45^o-\alpha)}
tg{(45^o+\alpha)}=ctg{(45^o-\alpha)}
ctg{(45^o+\alpha)}=tg{(45^o-\alpha)}

koło trygonometryczne

Teoria Powyższych wzorów nie trzeba uczyć się na pamięć, można je sobie dość łatwo wyprowadzić korzystając z tak zwanego koła trygonometrycznego.

Jest to koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r=1. Można wówczas zaznaczyć pewne charakterystyczne odcinki, których długości są równe odpowiednim funkcjom trygonometrycznym kąta zgodnie z definicją. Koło takie zostało zilustrowane poniższym rysunkiem:

Dla przykładu, zgodnie z definicją sinusa kąta jest on równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej kątowi (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim), do przeciwprostokątnej, a ponieważ przeciwprostokątna, to r=1, więc długość odcinka zaznaczonego kolorem niebieskim jest równa sinusowi danego kąta.

W przypadku pozostałych funkcji trygonometrycznych jest podobnie, zawsze w mianowniku ułamka występuje liczba 1.

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta -α?

koło trygonometryczne

Teoria Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y

oraz

\sin{(-\alpha)}=\frac{-y}{r}=\frac{-y}{1}=-y=-\sin{\alpha}

Natomiast dla funkcji cosinus:

\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x

oraz

\cos{(-\alpha)}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x=\cos{\alpha}koło trygonometryczne

Dla funkcji tangens warto sporządzić osobny rysunek:

Mamy na podstawie rysunku:

tg{\alpha}=\frac{y}{x}=\frac{y}{1}=y

oraz

tg{(-\alpha)}=\frac{-y}{x}=\frac{-y}{1}=-y=-tg{\alpha}

Podobne wyprowadzenie wzoru redukcyjnego można przeprowadzić dla funkcji cotangens. Można także skorzystać bezpośrednio ze wzoru tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}} i od razu ustalić znak.

Dla pozostałych wzorów redukcyjnych postępujemy w identyczny sposób. Sporządzamy koło trygonometryczne, zaznaczamy kąt dany oraz kąt, dla którego określamy wzór redukcyjny, zaznaczamy odpowiednie odcinki i wyznaczamy kolejno funkcje trygonometryczne. Poniżej ograniczymy się tylko do niektórych funkcji trygonometrycznych.


Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°-α?

koło trygonometryczne

Teoria Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y

oraz

\sin{(180^o-\alpha)}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y=\sin{\alpha}

Natomiast dla funkcji cosinus:

\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x

oraz

\cos{(180^o-\alpha)}=\frac{-x}{r}=\frac{-x}{1}=-x=-\cos{\alpha}

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°+α?

koło trygonometryczne

Teoria Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y

oraz

\sin{(180^o+\alpha)}=\frac{-y}{r}=\frac{-y}{1}=-y=-\sin{\alpha}

Natomiast dla funkcji cosinus:

\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x

oraz

\cos{(180^o+\alpha)}=\frac{-x}{r}=\frac{-x}{1}=-x=-\cos{\alpha}

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 90°-α?

koło trygonometryczne

Teoria Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Ponieważ x=y', y=x' mamy na podstawie rysunku:

\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y
\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x

oraz

\sin{(90^o-\alpha)}=\frac{y'}{r}=\frac{x}{r}=\cos{\alpha}
\cos{(90^o-\alpha)}=\frac{x'}{r}=\frac{y}{r}=\sin{\alpha}

Jak wyznaczyć tangens takiego kąta? Wystarczy skorzystać ze wzoru:
tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

czyli:

tg{(90^o-\alpha)}=\frac{\sin{(90^o-\alpha)}}{\cos{(90^o-\alpha)}}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=ctg{\alpha}

Teoria Wzory redukcyjne wykorzystujemy przy obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych innych kątów niż 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Oto kilka przykładów:

Przykład Przykład

Obliczyć \sin{405^o}

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla pełnego kąta:
\sin{405^o}=\sin{(360^o+45^o)}=\sin{45^o}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Przykład Przykład

Obliczyć tg{(-60^o)}

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta -α:
tg{(-60^o)}=-tg{60^o}=-\sqrt{3}

Przykład Przykład

Obliczyć \sin{225^o}

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta 180°+α:
\sin{225^o}=\sin{(180^o+45^o)}=-\sin{45^o}=-\frac{\sqrt{2}}{2}


© Media Nauka, 2011-04-06, ART-1285



Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie - ikonka Zadanie 746 - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin30°,
b) cos3285°,
c) tg1125°,
d) ctg210°.

zadanie - ikonka Zadanie 747 - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin(-45o)
b) ctg(-60o)
c) cos(-90o)

zadanie - ikonka Zadanie 748 - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin120o
b) cos135o
c) cos240o
d) sin225o

zadanie - ikonka Zadanie 749 - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin150o
b) tg120o

zadanie - ikonka Zadanie 750 - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin960o
b) tg2115o
c) cos2760o

zadanie - ikonka Zadanie 751 - wzory redukcyjne
Sprowadzić do prostszej postaci:
a)\ \sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}\\ b)\ \cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}\\ c)\ tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}

zadanie - ikonka Zadanie 752 - wzory redukcyjne
Sprowadzić do prostszej postaci:
a)\ \sin{(-x)}-\cos{(270^o-x)}\\ b)\ \sin{(x-90^o)}\\ c)\ \cos{(x-\pi)}



Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy