Równanie pierwiastkowe

Rozwiązać równanie \(x+\sqrt{8-4x}=2\).

Dziedzina równania: \(8-4x \ge 0\), czyli \(x \le 2\)

Zaczynamy od pozostawienia po jednej stronie równania tylko pierwiastka.

\(\sqrt{8-4x}=2-x\)

Następnie podnosimy obie strony równania do drugiej potęgi.

\(8-4x=(2-x)^2\)

\(8-4x=4-4x+x^2\)

\(x^2-4=0\)

\((x-2)(x+2)=0\)

Równanie to ma dwa pierwiastki:

\(x_1=2,\quad{x_2=-2}\)

Sprawdzamy, czy pierwiastki te spełniają równanie wyjściowe:

\(2+\sqrt{8-4\cdot{2}}=2\)

\(-2+\sqrt{8-4\cdot(-2)}=-2+\sqrt{16}=-2+4=2\)

Zatem oba pierwiastki są rozwiązaniem równania \(x+\sqrt{8-4x}=2\).