Nauka » Matematyka » Równanie pierwiastkowe

Zadanie - równanie pierwiastkowe

Rozwiązać równanie $\sqrt{x+1}=x+1$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\sqrt{x+1}=x+1/^2\\x+1=(x+1)^2$
$?x+1=x^2+2x+1\\x+1-x^2-2x-1=0\\x^2+x=0\\x(x+1)=0\\x=0\vee{x=-1}$
$\sqrt{x+1}=x+1\\{\sqrt{0+1}=0+1\Leftrightarrow{1=1}}\\{\sqrt{-1+1}=-1+1\Leftrightarrow{0=0}}$

Otrzymaliśmy zdania prawdziwe, więc oba rozwiązania spełniają dane równanie.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rozwiązujemy równanie metodą analizy starożytnych, pamiętając, że na końcu musimy sprawdzić, czy uzyskane rozwiązanie spełnia równanie wyjściowe. Podnosimy więc obie strony równania do kwadratu:

$\sqrt{x+1}=x+1/^2\\x+1=(x+1)^2$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

Mamy więc:

$x+1=(x+1)^2\\x+1=x^2+2x+1\\x+1-x^2-2x-1=0\\-x^2-x=0/:(-1)\\x^2+x=0\\x(x+1)=0\\x=0\vee{x-1=0}\\x=0\vee{x=-1}$

Otrzymaliśmy dwa pierwiastki równania. Sprawdzamy, czy spełniają równanie pierwiastkowe.

$\sqrt{x+1}=x+1\\{\sqrt{0+1}=0+1\Leftrightarrow{1=1}}\\{\sqrt{-1+1}=-1+1\Leftrightarrow{0=0}}$

Otrzymaliśmy zdania prawdziwe, więc oba rozwiązania spełniają dane równanie.

Odpowiedź

$x=0\vee{x=-1}$

Zadania podobne

Zadanie - równanie pierwiastkowe
Rozwiązać równanie $\sqrt{-x}=4$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie pierwiastkowe
Rozwiązać równanie $\sqrt{x-1}=x+1$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie pierwiastkowe
Rozwiązać równanie $\sqrt{x^2-2x+4}=x-4$

Pokaż rozwiązanie zadania