Rozwiązywanie równań liniowych

Oto prosty przykład rozwiązania równania liniowego:

Zadanie

Rozwiązać równanie: $-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0$

Rozwiązanie:
$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0\\{-\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}/\cdot{(-2)}}\\{x=-\frac{2}{3}}$
Odpowiedź: $x=-\frac{2}{3}$ .

Czasem równanie możemy przekształcić do postaci liniowej. Oto taki przykład:

Zadanie

Rozwiązać równanie: $\frac{1+2x}{x-1}-2=\frac{2}{x}$
Rozwiązanie:
Dziedziną równania jest $R\backslash{\lbrace}0,1\rbrace$ . Możemy więc w celu uzyskania równania równoważnego dokonać mnożenia obu stron równania przez wspólny mianownik ułamków:

$\frac{1+2x}{x-1}-2=\frac{2}{x}/\cdot{x(x-1)}\\{x(1+2x)-2x(x-1)=2(x-1)}\\{x+2x^2-2x^2+2x=2x-2}\\{3x=2x-2}\\{x=-2}$

Odpowiedź: .

Równanie liniowe z parametrem

Nie zawsze w równaniu liniowym jawnie zapisywane są liczby. Zamiast nich stosuje się oznaczenia literowe, nazywane parametrami, a równanie zawierające takie oznaczenia literowe nazywamy równaniem z parametrem. Zawsze w takim równaniu musimy wskazać niewiadomą lub ze względu na jaką zmienną należy rozwiązać dane równanie.

Po co parametryzować równania? W celu uogólnienia równania i jego rozwiązania. Zamiast rozwiązywać osobno równania: x+1=0, x+2=0, x+443,225=0 można rozwiązać równanie x+m=0, otrzymać wynik x=-m i w ten oto sposób rozwiązać nie tylko wymienione tutaj równania, ale wszystkie inne w tej postaci za jednym razem!

Przykład

Równanie jest przykładem równania z parametrem o ile jest informacja, że x lub m jest niewiadomą. Równanie to można rozwiązać ze względu na x, wówczas m traktujemy jak liczbę rzeczywistą, możemy też rozwiązać to równanie ze względu na m, a x traktować jako parametr.

1) Rozwiążemy to równanie ze względu na x.

$mx-2x=1\\{x(m-2)=1}$
Teraz mogą wystąpić różne przypadki.
Jeżeli $m-2\neq{0}\Leftrightarrow{m\neq{2}}$ , możemy dokonać przekształcenia:
$x(m-2)=1/:(m-2)\\{x=\frac{1}{m-2}}$

Jeżeli $m-2=0\Leftrightarrow{m=2}$ , mamy do czynienia z równaniem sprzecznym:
$x\cdot{0=1}\\{0=1}$

Równanie ma jedno rozwiązanie $x_0=\frac{1}{m-2}$ dla $m\neq{2}$ oraz nie ma rozwiązań w przypadku, gdy m=2.

2) Rozwiążemy to równanie ze względu na m. Zatem x traktujemy jak zwykłą liczbę.

$mx-2x=1\\{mx=1+2x}$
Dla x różnego od zera mamy jedno rozwiązanie $m_0=\frac{1+2x}{x}$ , natomiast dla x=0 równanie nie ma rozwiązania (jest sprzeczne).

Czasem równanie wygląda groźnie ze względu na parametry, których może być wiele w równaniu, jednak jeżeli tylko mamy do czynienia z równaniem liniowym, rozwiązanie takiego równania nie powinno być trudne.

Przykład

Przykład takiego równania z parametrami a i b jest w rzeczywistości łatwy do rozwiązania:
$\sqrt{a^2+1}+\frac{x}{2}-b^4=\log_2{a-b}\\{\frac{1}{2}x=\log_2{a-b}-\sqrt{a^2+1}+b^4/\cdot{2}}\\{x=2\log_2{a-b}-2\sqrt{a^2+1}+2b^4}$

Zadania z treścią

Osobną grupę zadań stanowią zadania z treścią. Najważniejsze w procesie rozwiązywania takich zadań jest dobre oznaczenie niewiadomej i zapisanie zdania logicznego wypowiadanego w treści zadania za pomocą równania. Poniżej kilka przykładów:

Przykład

Jeśli dodamy do siebie wiek Janka, który jest o rok starszy od Krzysia do wieku Krzysia, to otrzymamy liczbę 15. W jakim wieku są chłopcy?

Oznaczamy i opisujemy niewiadome:
x - wiek Janka,
x-1 - wiek Krzysia (Krzyś jest młodszy o rok)

Zapisujemy wypowiedziane w treści zdanie logiczne (suma lat chłopców jest równa 15)
$x+(x-1)=15\\{2x-1=15}\\{2x=16/:2}\\{x=8}\\{x-1=7}$

Odpowiedź: Janek ma 8 lat, a Krzyś 7.

Przykład

Jaką kwotę musi Janek przelać na lokatę o oprocentowaniu 5% w skali roku, aby po roku czasu stać go było na zakup roweru, który kosztuje 1200 zł?

x - kwota kapitału.

Układamy równanie: kwota kapitału i kwota odsetek po roku czasu musi być równa 1200 zł.
$x+x\cdot{5%}=1200\\{x+\frac{5}{100}x=1200}\\{\frac{105}{100}x=1200/\cdot{\frac{100}{105}}}\\{\frac{100/105}}\\{x=\frac{120000}{105}}\\{x\approx{1142,86}}$

Odpowiedź: Aby Janek mógł kupić rower za 1200 zł musi włożyć na roczną lokatę o oprocentowaniu 5% kwotę 1142,86 zł.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie równań liniowych

Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie:
a)
b) $\sqrt{2}x+1=x+\sqrt{2}$
c) $\frac{1}{2}x-\frac{3}{7}=\frac{x}{2}-2$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie $\frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem równania jest liczba 2?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe z parametrem
Rozwiązać równanie $\frac{x}{m-2}+m=5$ ze względu na zmienną x.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe - zadanie z treścią
Jacek jest o 3 lata starszy od Maćka. Razem chłopcy mają 15 lat. Ile lat ma każdy z chłopców?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie liniowe - zadanie z treścią
Na jaki procent należy włożyć na lokatę 200 zł, aby po roku oszczędzania otrzymać 5 zł odsetek?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Zadanie z treścią (źródło - Internet)
Rybak złowił szczupaka. Na pytanie, jak wielka jest ryba, odpowiedział zagadkowo: "Łeb szczupaka mierzy 6 cm, tułów ma długość taką jak głowa i ogon razem, przy czym trzy czwarte ogona mierzą tyle ile głowa i ćwierć długości głowy". Jaką długość ma szczupak?

Pokaż rozwiązanie zadania