logo

Rozwiązywanie równań liniowych

Oto prosty przykład rozwiązania równania liniowego:

zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie: -\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0

Rozwiązanie:
-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0\\{-\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}/\cdot{(-2)}}\\{x=-\frac{2}{3}}
Odpowiedź:x=-\frac{2}{3}.

Teoria Czasem równanie możemy przekształcić do postaci liniowej. Oto taki przykład:

zadanie Zadanie

Rozwiązać równanie: \frac{1+2x}{x-1}-2=\frac{2}{x}
Rozwiązanie:
Dziedziną równania jest R\backslash{\lbrace}0,1\rbrace. Możemy więc w celu uzyskania równania równoważnego dokonać mnożenia obu stron równania przez wspólny mianownik ułamków:

\frac{1+2x}{x-1}-2=\frac{2}{x}/\cdot{x(x-1)}\\{x(1+2x)-2x(x-1)=2(x-1)}\\{x+2x^2-2x^2+2x=2x-2}\\{3x=2x-2}\\{x=-2}

Odpowiedź: x=-2.

Równanie liniowe z parametrem

Teoria Nie zawsze w równaniu liniowym jawnie zapisywane są liczby. Zamiast nich stosuje się oznaczenia literowe, nazywane parametrami, a równanie zawierające takie oznaczenia literowe nazywamy równaniem z parametrem. Zawsze w takim równaniu musimy wskazać niewiadomą lub ze względu na jaką zmienną należy rozwiązać dane równanie.

Po co parametryzować równania? W celu uogólnienia równania i jego rozwiązania. Zamiast rozwiązywać osobno równania: x+1=0, x+2=0, x+443,225=0 można rozwiązać równanie x+m=0, otrzymać wynik x=-m i w ten oto sposób rozwiązać nie tylko wymienione tutaj równania, ale wszystkie inne w tej postaci za jednym razem!


Przykład Przykład

Równanie mx-2x=1 jest przykładem równania z parametrem o ile jest informacja, że x lub m jest niewiadomą. Równanie to można rozwiązać ze względu na x, wówczas m traktujemy jak liczbę rzeczywistą, możemy też rozwiązać to równanie ze względu na m, a x traktować jako parametr.

1) Rozwiążemy to równanie ze względu na x.

mx-2x=1\\{x(m-2)=1}
Teraz mogą wystąpić różne przypadki.
Jeżeli m-2\neq{0}\Leftrightarrow{m\neq{2}}, możemy dokonać przekształcenia:
x(m-2)=1/:(m-2)\\{x=\frac{1}{m-2}}

Jeżeli m-2=0\Leftrightarrow{m=2}, mamy do czynienia z równaniem sprzecznym:
x\cdot{0=1}\\{0=1}

Równanie ma jedno rozwiązanie x_0=\frac{1}{m-2} dla m\neq{2} oraz nie ma rozwiązań w przypadku, gdy m=2.

2) Rozwiążemy to równanie ze względu na m. Zatem x traktujemy jak zwykłą liczbę.

mx-2x=1\\{mx=1+2x}
Dla x różnego od zera mamy jedno rozwiązanie m_0=\frac{1+2x}{x}, natomiast dla x=0 równanie nie ma rozwiązania (jest sprzeczne).

Teoria Czasem równanie wygląda groźnie ze względu na parametry, których może być wiele w równaniu, jednak jeżeli tylko mamy do czynienia z równaniem liniowym, rozwiązanie takiego równania nie powinno być trudne.

Przykład Przykład

Przykład takiego równania z parametrami a i b jest w rzeczywistości łatwy do rozwiązania:
\sqrt{a^2+1}+\frac{x}{2}-b^4=\log_2{a-b}\\{\frac{1}{2}x=\log_2{a-b}-\sqrt{a^2+1}+b^4/\cdot{2}}\\{x=2\log_2{a-b}-2\sqrt{a^2+1}+2b^4}

Zadania z treścią

Teoria Osobną grupę zadań stanowią zadania z treścią. Najważniejsze w procesie rozwiązywania takich zadań jest dobre oznaczenie niewiadomej i zapisanie zdania logicznego wypowiadanego w treści zadania za pomocą równania. Poniżej kilka przykładów:

Przykład Przykład

Jeśli dodamy do siebie wiek Janka, który jest o rok starszy od Krzysia do wieku Krzysia, to otrzymamy liczbę 15. W jakim wieku są chłopcy?

Oznaczamy i opisujemy niewiadome:
x - wiek Janka,
x-1 - wiek Krzysia (Krzyś jest młodszy o rok)

Zapisujemy wypowiedziane w treści zdanie logiczne (suma lat chłopców jest równa 15)
x+(x-1)=15\\{2x-1=15}\\{2x=16/:2}\\{x=8}\\{x-1=7}

Odpowiedź: Janek ma 8 lat, a Krzyś 7.


Przykład Przykład

Jaką kwotę musi Janek przelać na lokatę o oprocentowaniu 5% w skali roku, aby po roku czasu stać go było na zakup roweru, który kosztuje 1200 zł?

x - kwota kapitału.

Układamy równanie: kwota kapitału i kwota odsetek po roku czasu musi być równa 1200 zł.
x+x\cdot{5%}=1200\\{x+\frac{5}{100}x=1200}\\{\frac{105}{100}x=1200/\cdot{\frac{100}{105}}}\\{\frac{100/105}}\\{x=\frac{120000}{105}}\\{x\approx{1142,86}}

Odpowiedź: Aby Janek mógł kupić rower za 1200 zł musi włożyć na roczną lokatę o oprocentowaniu 5% kwotę 1142,86 zł.




© medianauka.pl, 2009-06-24, ART-246


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie równań liniowych

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie:
a) 5x-3=7x+8
b) \sqrt{2}x+1=x+\sqrt{2}
c) \frac{1}{2}x-\frac{3}{7}=\frac{x}{2}-2

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie (x-2)^2=(x+2)^2

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie \frac{2+3x}{x+1}-3=-\frac{3}{x}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem równania x-m+1=3x-2 jest liczba 2?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe z parametrem
Rozwiązać równanie \frac{x}{m-2}+m=5 ze względu na zmienną x.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe - zadanie z treścią
Jacek jest o 3 lata starszy od Maćka. Razem chłopcy mają 15 lat. Ile lat ma każdy z chłopców?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - równanie liniowe - zadanie z treścią
Na jaki procent należy włożyć na lokatę 200 zł, aby po roku oszczędzania otrzymać 5 zł odsetek?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Zadanie z treścią (źródło - Internet)
Rybak złowił szczupaka. Na pytanie, jak wielka jest ryba, odpowiedział zagadkowo: "Łeb szczupaka mierzy 6 cm, tułów ma długość taką jak głowa i ogon razem, przy czym trzy czwarte ogona mierzą tyle ile głowa i ćwierć długości głowy". Jaką długość ma szczupak?

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie linioweRównanie liniowe
Równanie liniowe z jedną niewiadomą jest to równanie w postaci: ax+b=0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, x - niewiadoma.
Równania z wartością bezwzględnąRównania z wartością bezwzględną
Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną.
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.








Polecamy w naszym sklepie

Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Matematyka olimpijska. Algebra i teoria liczb
50 wielkich idei które powinieneś znać
kolorowe skarpetki góra lodowa
Kubek matematyka pi
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.