Rozwiązywanie równań liniowych
Oto prosty przykład rozwiązania równania liniowego:
Zadanie
Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie:
Odpowiedź:.
Czasem równanie możemy przekształcić do postaci liniowej. Oto taki przykład:
Zadanie
Rozwiązać równanie:
Rozwiązanie:
Dziedziną równania jest . Możemy więc w celu uzyskania równania równoważnego dokonać mnożenia obu stron równania przez wspólny mianownik ułamków:
Odpowiedź: .
Równanie liniowe z parametrem
Nie zawsze w równaniu liniowym jawnie zapisywane są liczby. Zamiast nich stosuje się oznaczenia literowe, nazywane parametrami, a równanie zawierające takie oznaczenia literowe nazywamy równaniem z parametrem. Zawsze w takim równaniu musimy wskazać niewiadomą lub ze względu na jaką zmienną należy rozwiązać dane równanie.
Po co parametryzować równania? W celu uogólnienia równania i jego rozwiązania. Zamiast rozwiązywać osobno równania: x+1=0, x+2=0, x+443,225=0 można rozwiązać równanie x+m=0, otrzymać wynik x=-m i w ten oto sposób rozwiązać nie tylko wymienione tutaj równania, ale wszystkie inne w tej postaci za jednym razem!
Przykład
Równanie jest przykładem równania z parametrem o ile jest informacja, że x lub m jest niewiadomą. Równanie to można rozwiązać ze względu na x, wówczas m traktujemy jak liczbę rzeczywistą, możemy też rozwiązać to równanie ze względu na m, a x traktować jako parametr.
1) Rozwiążemy to równanie ze względu na x.
Teraz mogą wystąpić różne przypadki.
Jeżeli , możemy dokonać przekształcenia:
Jeżeli , mamy do czynienia z równaniem sprzecznym:
Równanie ma jedno rozwiązanie dla
oraz nie ma rozwiązań w przypadku, gdy m=2.
2) Rozwiążemy to równanie ze względu na m. Zatem x traktujemy jak zwykłą liczbę.
Dla x różnego od zera mamy jedno rozwiązanie , natomiast dla x=0 równanie nie ma rozwiązania (jest sprzeczne).
Czasem równanie wygląda groźnie ze względu na parametry, których może być wiele w równaniu, jednak jeżeli tylko mamy do czynienia z równaniem liniowym, rozwiązanie takiego równania nie powinno być trudne.
Przykład
Przykład takiego równania z parametrami a i b jest w rzeczywistości łatwy do rozwiązania:
Zadania z treścią
Osobną grupę zadań stanowią zadania z treścią. Najważniejsze w procesie rozwiązywania takich zadań jest dobre oznaczenie niewiadomej i zapisanie zdania logicznego wypowiadanego w treści zadania za pomocą równania. Poniżej kilka przykładów:
Przykład
Jeśli dodamy do siebie wiek Janka, który jest o rok starszy od Krzysia do wieku Krzysia, to otrzymamy liczbę 15. W jakim wieku są chłopcy?
Oznaczamy i opisujemy niewiadome:
x - wiek Janka,
x-1 - wiek Krzysia (Krzyś jest młodszy o rok)
Zapisujemy wypowiedziane w treści zdanie logiczne (suma lat chłopców jest równa 15)
Odpowiedź: Janek ma 8 lat, a Krzyś 7.
Przykład
Jaką kwotę musi Janek przelać na lokatę o oprocentowaniu 5% w skali roku, aby po roku czasu stać go było na zakup roweru, który kosztuje 1200 zł?
x - kwota kapitału.
Układamy równanie: kwota kapitału i kwota odsetek po roku czasu musi być równa 1200 zł.
Odpowiedź: Aby Janek mógł kupić rower za 1200 zł musi włożyć na roczną lokatę o oprocentowaniu 5% kwotę 1142,86 zł.
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie równań liniowych
Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie:
a)
b)
c)
Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie
Zadanie - równanie liniowe
Rozwiązać równanie
Zadanie - równanie liniowe z parametrem
Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem równania jest liczba 2?
Zadanie - równanie liniowe z parametrem
Rozwiązać równanie ze względu na zmienną x.
Zadanie - równanie liniowe - zadanie z treścią
Jacek jest o 3 lata starszy od Maćka. Razem chłopcy mają 15 lat. Ile lat ma każdy z chłopców?
Zadanie - równanie liniowe - zadanie z treścią
Na jaki procent należy włożyć na lokatę 200 zł, aby po roku oszczędzania otrzymać 5 zł odsetek?
Zadanie - Zadanie z treścią (źródło - Internet)
Rybak złowił szczupaka. Na pytanie, jak wielka jest ryba, odpowiedział zagadkowo: "Łeb szczupaka mierzy 6 cm, tułów ma długość taką jak głowa i ogon razem, przy czym trzy czwarte ogona mierzą tyle ile głowa i ćwierć długości głowy".
Jaką długość ma szczupak?
Inne zagadnienia z tej lekcji
Równanie liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą jest to równanie w postaci: ax+b=0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, x - niewiadoma.
Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną to takie równania, w których niewiadoma znajduje się pod wartością bezwzględną.
© medianauka.pl, 2009-06-24, ART-246