Rozwiązywanie nierówności
Metoda nierówności równoważnych
Metoda nierówności równoważnych polega na ich przekształcaniu w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danej i łatwiejsze do rozwiązania. Możemy korzystać z następujących twierdzeń:
Twierdzenie
Dla każdego c prawdziwa jest równoważność: .
Podobne twierdzenia można sformułować dla pozostałych typów nierówności. Z powyższego twierdzenia wynika, że do obu stron nierówności możemy dodać dowolną liczbę (lub odjąć, czyli dodać liczbę przeciwną) lub całe wyrażenie i otrzymamy nierówność równoważną.
Przykład
Dana jest nierówność: .
Jeżeli do obu stron nierówności dodamy liczbę -1, to otrzymamy:
Otrzymaliśmy nierówność równoważną. Tak jak w przypadku równań możemy powiedzieć, że liczbę 1 z prawej strony nierówności przenosimy ze znakiem przeciwnym na lewą stronę. Przykład
Rozwiązać nierówność:
Do obu stron nierówności dodajemy liczbę 3 (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę 3 na drugą stronę):
Do obu stron nierówności dodajemy -2x (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy 2x na drugą stronę):
Otrzymaliśmy rozwiązanie, które najlepiej przedstawić w postaci przedziału liczbowego:
Twierdzenie
Dla każdego dodatniego c prawdziwa jest równoważność: oraz dla każdego ujemnego c:
Z powyższego twierdzenia wynika, że obie strony nierówności możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera i otrzymamy wówczas równanie równoważne, pod warunkiem że przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak mniejszości na znak większości i odwrotnie.
Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku.
Przykład
Rozwiązujemy nierówność: (przenosimy -1 na drugą stronę)
(dzielimy obie strony równania przez -3)
(ponieważ dzieliliśmy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, zmieniliśmy znak większości na znak mniejszości).
Pytania
Jak rozwiązać nierówność?
Poniżej przedstawiamy linki do artykułów, w których pokazujemy jak rozwiązujemy różne typy nierówności:
- Jak rozwiązać nierówność liniową?
- Jak rozwiązać nierówność kwadratową?
- Jak rozwiązać nierówność algebraiczną?
- Jak rozwiązać nierówność wykładniczą?
- Jak rozwiązać nierówność logarytmiczną?
- Jak rozwiązać nierówność trygonometryczną?
- Metoda nierówności równoważnych
Inne zagadnienia z tej lekcji
Rozwiązywanie równań

Metoda równań równoważnych polega na przekształcaniu równania w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danemu i łatwiejsze do rozwiązania.
Metoda analizy starożytnych

Metoda analizy starożytnych polega na przekształcaniu równania tak, aby otrzymać równanie łatwiejsze i spełniające rozwiązania równania wyjściowego.
© medianauka.pl, 2009-06-23, ART-241