Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Rozwiązywanie nierówności

Metoda nierówności równoważnych

Teoria Metoda nierówności równoważnych polega na ich przekształcaniu w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danej i łatwiejsze do rozwiązania. Możemy korzystać z następujących twierdzeń:

Twierdzenie Twierdzenie

Dla każdego c prawdziwa jest równoważność: a<b{\Leftrightarrow}a+c<b+c.

Teoria Podobne twierdzenia można sformułować dla pozostałych typów nierówności. Z powyższego twierdzenia wynika, że do obu stron nierówności możemy dodać dowolną liczbę (lub odjąć, czyli dodać liczbę przeciwną) lub całe wyrażenie i otrzymamy nierówność równoważną.

Przykład Przykład

Dana jest nierówność: x+4>x^2+1.
Jeżeli do obu stron nierówności dodamy liczbę -1, to otrzymamy: x+3>x^2
Otrzymaliśmy nierówność równoważną. Tak jak w przypadku równań możemy powiedzieć, że liczbę 1 z prawej strony nierówności przenosimy ze znakiem przeciwnym na lewą stronę.

Przykład Przykład

Rozwiązać nierówność: 3x-3\leq{2x-3}
Do obu stron nierówności dodajemy liczbę 3 (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę 3 na drugą stronę):
3x-3+3\leq{2x}\\{3x\leq{2x}}
Do obu stron nierówności dodajemy -2x (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy 2x na drugą stronę):
{3x-2x\leq{0}}\\x\leq{0}
Otrzymaliśmy rozwiązanie, które najlepiej przedstawić w postaci przedziału liczbowego: <0;+\infty)

Twierdzenie Twierdzenie

Dla każdego dodatniego c prawdziwa jest równoważność: a>b\Leftrightarrow{a}\cdot{c>b}\cdot{c} oraz dla każdego ujemnego c: a>b\Leftrightarrow{a}\cdot{c<b}\cdot{c}

Teoria Z powyższego twierdzenia wynika, że obie strony nierówności możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera i otrzymamy wówczas równanie równoważne, pod warunkiem że przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak mniejszości na znak większości i odwrotnie.
Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku.

Przykład Przykład

Rozwiązujemy nierówność:
-3x-1>5 (przenosimy -1 na drugą stronę)
-3x\gt;6\quad{/:(-3)} (dzielimy obie strony równania przez -3)
x<-2
(ponieważ dzieliliśmy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, zmieniliśmy znak większości na znak mniejszości).


© medianauka.pl, 2009-06-23, ART-241






Inne zagadnienia z tej lekcji




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.