Rozwiązywanie nierówności

Metoda nierówności równoważnych

Metoda nierówności równoważnych polega na ich przekształcaniu w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danej i łatwiejsze do rozwiązania. Możemy korzystać z następujących twierdzeń:

Twierdzenie

Dla każdego c prawdziwa jest równoważność: $a<b{\Leftrightarrow}a+c<b+c$ .

Podobne twierdzenia można sformułować dla pozostałych typów nierówności. Z powyższego twierdzenia wynika, że do obu stron nierówności możemy dodać dowolną liczbę (lub odjąć, czyli dodać liczbę przeciwną) lub całe wyrażenie i otrzymamy nierówność równoważną.

Przykład

Dana jest nierówność: .
Jeżeli do obu stron nierówności dodamy liczbę -1, to otrzymamy:
Otrzymaliśmy nierówność równoważną. Tak jak w przypadku równań możemy powiedzieć, że liczbę 1 z prawej strony nierówności przenosimy ze znakiem przeciwnym na lewą stronę.

Przykład

Rozwiązać nierówność: $3x-3\leq{2x-3}$
Do obu stron nierówności dodajemy liczbę 3 (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę 3 na drugą stronę):
$3x-3+3\leq{2x}\\{3x\leq{2x}}$
Do obu stron nierówności dodajemy -2x (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy 2x na drugą stronę):
${3x-2x\leq{0}}\\x\leq{0}$
Otrzymaliśmy rozwiązanie, które najlepiej przedstawić w postaci przedziału liczbowego: $<0;+\infty)$

Twierdzenie

Dla każdego dodatniego c prawdziwa jest równoważność: $a>b\Leftrightarrow{a}\cdot{c>b}\cdot{c}$ oraz dla każdego ujemnego c: $a>b\Leftrightarrow{a}\cdot{c<b}\cdot{c}$

Z powyższego twierdzenia wynika, że obie strony nierówności możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera i otrzymamy wówczas równanie równoważne, pod warunkiem że przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak mniejszości na znak większości i odwrotnie.
Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku.

Przykład

Rozwiązujemy nierówność:
(przenosimy -1 na drugą stronę)
$-3x\gt;6\quad{/:(-3)}$ (dzielimy obie strony równania przez -3)

(ponieważ dzieliliśmy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, zmieniliśmy znak większości na znak mniejszości).