Rozwiązywanie nierówności

Jak rozwiązywać nierówności? Poznamy jedną z metod rozwiązywania nierówności.

Metoda nierówności równoważnych

Metoda nierówności równoważnych polega na ich przekształcaniu w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danej i łatwiejsze do rozwiązania. Możemy korzystać z następujących twierdzeń:

Twierdzenie

Dla każdego c prawdziwa jest równoważność: \(a<b \Leftrightarrow a+c<b+c\).

Podobne twierdzenia można sformułować dla pozostałych typów nierówności. Z powyższego twierdzenia wynika, że do obu stron nierówności możemy dodać dowolną liczbę (lub odjąć, czyli dodać liczbę przeciwną) lub całe wyrażenie i otrzymamy nierówność równoważną.

Przykład 1

Dana jest nierówność \(x+4>x^2+1\).

Jeżeli do obu stron nierówności dodamy liczbę \(-1\), to otrzymamy \(x+3>x^2\).

Otrzymaliśmy nierówność równoważną. Tak jak w przypadku równań możemy powiedzieć, że liczbę \(1\) z prawej strony nierówności przenosimy ze znakiem przeciwnym na lewą stronę.

Przykład 2

Rozwiązać nierówność: \(3x-3\leq 2x-3\).

Do obu stron nierówności dodajemy liczbę \(3\) (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę \(3\) na drugą stronę):

\(3x-3+3\leq 2x\)

\(3x\leq 2x\)

Do obu stron nierówności dodajemy \(-2x\) (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy \(2x\) na drugą stronę):

\(3x-2x\leq 0\)

\(x\leq 0\)

Otrzymaliśmy rozwiązanie, które najlepiej przedstawić w postaci przedziału liczbowego: \(\langle 0;+\infty)\).

Twierdzenie

Dla każdego dodatniego c prawdziwa jest równoważność: \(a>b \Leftrightarrow a \cdot c> b \cdot c\) oraz dla każdego ujemnego \(c\): \(a>b \Leftrightarrow a \cdot c<b\cdot c\).

Z powyższego twierdzenia wynika, że obie strony nierówności możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera i otrzymamy wówczas równanie równoważne, pod warunkiem że przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak mniejszości na znak większości i odwrotnie.
Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku.