Nierówność z wartością bezwzględną

Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną wymaga zastosowanie własności wynikającej bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.

Dla każdej liczby rzeczywistej a>0:

$|x|<a\Leftrightarrow{-a<x<a}\\{|x|>0\Leftrightarrow{[(x<-a)}\vee{(x>a)]}}$

Powyższe można zapisać w postaci przedziałów liczbowych:

$|x|<a\Leftrightarrow{x}\in{(-a,a)}\\{|x|>0}\Leftrightarrow{x}\in{(-\infty;-a)}\cup{(a;+\infty)}$

Interpretacja geometryczna

Interpretacja geometryczna nierówności zilustrowana została na rysunku.

wykres

Przykłady

Przykład 1

Rozwiąż nierówność z wartością bezwzględną: |x+2|<4.
$|x+2|<4\Leftrightarrow{-4<x+2<4}\Leftrightarrow{-6<x<2}$

Powyższe rozwiązanie można zapisać w postaci przedziału x∈(-6;2).

Przykład 2

Rozwiązać nierówność: |x-2|>2.
$|x-2|>2\Leftrightarrow{[(x-2<-2)}\vee{(x-2>2)]}\Leftrightarrow{[(x<0)}\vee{(x>4)]}$

Zapiszmy jeszcze powyższe rozwiązanie w postaci przedziału x∈(-∞;0)∪(4;∞).

Jak zauważamy cała sztuka rozwiązania nierówności pierwszego stopnia z wartością bezwzględną polega na wykorzystaniu definicji wartości bezwzględnej i umiejętności zapisywania wyniku w postaci przedziałów liczbowych.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Rozwiąż nierówność |x−1|+|x−5| ≤10−2x.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą jest to nierówność: ax+b<0, ax+b>0, gdzie a i b - dowolne liczby rzeczywiste, x - niewiadoma.

Rozwiązywanie nierówności liniowych

Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą, Nierówności liniowe z parametrem, zadania z treścią

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.