Nierówność z wartością bezwzględną

Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną wymaga zastosowania własności wynikającej bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej.

Rozwiązania nierówności z wartością bezwzględną

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a>0\):

\(|x|<a \Leftrightarrow -a<x<a\)

\(|x|>a \Leftrightarrow [(x<-a) \vee (x>a)]\)

Powyższe można zapisać w postaci przedziałów liczbowych:

\(|x|<a \Leftrightarrow x\in (-a,a)\)

\(|x|>a \Leftrightarrow x\in(-\infty;-a) \cup (a;+\infty)\)

Interpretacja geometryczna

Interpretacja geometryczna nierówności zilustrowana została na rysunku.

interpretacja geometryczna nierówności z wartością bezwzględną

Przykład 1

Rozwiąż nierówność z wartością bezwzględną:

\(|x+2|<4\)

\(|x+2|<4 \Leftrightarrow {-4<x+2<4} \Leftrightarrow {-6<x<2}\)

Powyższe rozwiązanie można zapisać w postaci przedziału \(x\in (-6;2)\).

Przykład 2

Rozwiązać nierówność: \(|x-2|>2\).

\(|x-2|>2 \Leftrightarrow [(x-2<-2) \vee (x-2>2)] \Leftrightarrow [(x<0) \vee (x>4)]\)

Zapiszmy jeszcze powyższe rozwiązanie w postaci przedziału \(x\in (-\infty;0)\cup (4;\infty)\).

Jak zauważamy cała sztuka rozwiązania nierówności pierwszego stopnia z wartością bezwzględną polega na wykorzystaniu definicji wartości bezwzględnej i umiejętności zapisywania wyniku w postaci przedziałów liczbowych.

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną

Zamiast korzystać z powyższych wzorów, można dowolną nierówność z jedną lub wieloma wartościami bezwzględnymi rozwiązać z wykorzystaniem wprost definicji wartości bezwzględnej.

Rozpatrujemy wówczas wszystkie przypadki, w których wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne i ujemne.

Jeżeli wyrażenie to jest większe lub równe zero, to opuszczamy symbol wartości bezwzględnej, dalej rozwiązując nierówność w tradycyjny sposób.

Jeżeli wyrażenie to jest ujemne, również opuszczamy symbol wartości bezwzględnej, ale wówczas zmieniamy znak tego wyrażenia na przeciwny.

Na końcu uwzględniamy wszystkie uzyskane wyniki, określając przedziały, w których nasza nierówność jest prawdziwa. Postępujemy więc w sposób analogiczny, jak w przypadku rozwiązywania równań z wartością bezwzględną.