Zadanie maturalne nr 1, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Rozwiąż nierówność \(|x−1|+|x−5| \leq 10−2x\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
Słowem, jeżeli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest większe lub równe zero, możemy opuścić symbol wartości bezwzględnej. Jeżeli zaś wyrażenie to jest ujemne, to aby opuścić symbol wartości bezwzględnej należy zmienić znak tego wyrażenia na przeciwny.
Ponieważ w nierówności mamy różne wyrażenia pod dwiema wartościami bezwzględnymi, musimy rozpatrzyć aż cztery różne przypadki.
Przypadek 1
Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są nieujemne. Możemy więc opuścić wartości bezwzględne w naszej nierówności.
\(\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \\ x-1+x-5 \le 10-2x\end{cases}\)
\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 5 \\ 2x-6 \le 10-2x\end{cases}\)
\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge 5 \\ x \le 4\end{cases}\)
Zaznaczamy na wykresie poglądowym przedziały spełniające każdą z powyższych nierówności:
Z wykresu widać, że nie ma części wspólnej dla wszystkich trzech przedziałów. Zatem w tym przypadki mamy brak rozwiązania.
Przypadek 2
Zakładamy, że oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ujemne. Możemy więc opuścić wartości bezwzględne w naszej nierówności pod warunkiem zmiany znaku tych wyrażeń.
\(\begin{cases} x-1< 0 \\ x-5 < 0 \\ -x+1-x+5 \le 10-2x\end{cases}\)
\(\begin{cases} x<1 \\ x<5 \\ 0 \le 4\end{cases}\)
Trzecia nierówność jest prawdziwa dla każdej wartości x (jest to nierówność tożsamościowa). Zaznaczamy na wykresie poglądowym przedziały spełniające każdą z powyższych nierówności:
Z wykresu widać, że \(x\in \langle -\infty;1 ) \).
Przypadek 3
Zakładamy, że pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, a drugie ujemne. Możemy więc opuścić wartości bezwzględne w naszej nierówności, przy czym pierwsze wyrażenie pozostaje bez zmian, w drugim zaś zmieniamy jego znak.
\(\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x-5<0 \\ x-1-x+5 \le 10-2x\end{cases}\)
\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x<5 \\ 4 \le 10-2x\end{cases}\)
\(\begin{cases} x \ge 1 \\ x<5 \\ x \le 3\end{cases}\)
Zaznaczamy na wykresie poglądowym przedziały spełniające każdą z powyższych nierówności i znajdujemy ich częśc wspólną:
Z wykresu widać, że \(x\in \langle 1;3 \rangle \).
Przypadek 4
Zakładamy, że pierwsze wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, a drugie nieujemne. Możemy więc opuścić wartości bezwzględne w naszej nierówności, przy czym pierwsze wyrażenie zmienia znak, w drugim zaś nie zmieniamy znaku.
\(\begin{cases} x-1<0 \\ x-5 \ge 0 \\ -x+1+x-5 \le 10-2x\end{cases}\)
\(\begin{cases} x < 1 \\ x \ge 5 \\ x \le 7\end{cases}\)
Zaznaczamy na wykresie poglądowym przedziały spełniające każdą z powyższych nierówności:
Z wykresu widać, że \(x\in ∅ \).
Uwzględniają wyniki z wszystkich przypadków otrzymujemy \( (-\infty;1 ) \cup \langle 1;3 \rangle = (-\infty;3 \rangle \)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2022-12-28, ZAD-4567
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Rozwiąż nierówność:
\(\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}\)
Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) dla każdej liczby rzeczywistej \(a\).