Nierówność liniowa

Definicja

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą jest to nierówność:

$ax+b<0\\{ax+b>0}\\{ax+b\leq{0}\\{ax+b\geq{0}}$

gdzie a i b - dowolne liczby rzeczywiste, x - niewiadoma.

Przykłady

Przykłady nierówności liniowych:

$2x-1\geq{0}\\{\frac{x}{3}-1\leq{0}}\\{-x+\sqrt{3}<0}$

Własności nierówności liniowej

Jeżeli $a\neq{0}$ , to nierówność liniową nazywamy nierównością pierwszego stopnia
W zależności od kierunku i rodzaju nierówności zbiorem rozwiązań są przedziały:
$(-\infty;-\frac{b}{a}),\quad{(-\frac{b}{a};+\infty)}$ dla ostrych nierówności
lub
$(-\infty;-\frac{b}{a}\rangle,\quad{\langle}-\frac{b}{a};+\infty)$ dla nierówności nieostrych.

Jeżeli a=0, to nierówność liniowa jest tożsamościowa (np. -2 < 3) lub sprzeczna (np. 3 < -2) w zależności od rodzaju i kierunku nierówności oraz wartości liczby b.

Przykład

Przyjrzyjmy się na przykładzie nierówności i jej interpretacji geometrycznej.
Rozwiązujemy nierówność:
$2x-4>0\\{2x>4/:2}\\{x>2}$

Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji y=2x-4.
Ponieważ rozpatrujemy y=2x-4>0, więc pytamy: "dla jakich wartości zmiennej x wartości funkcji y są większe od zera?" i uzyskujemy odpowiedź: dla x>2. Widać to doskonale na zamieszczonej obok ilustracji.

wykres funkcji y=2x-4

W dalszej części lekcji pokażemy w jaki sposób rozwiązujemy nierówności liniowe z jedną niewiadomą, w tym nierówności liniowe z parametrem oraz nierówności z wartością bezwzględną.

Nierówności z jedną niewiadomą występują także w zadaniach z treścią, przykłady których również pokażemy.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Zadanie maturalne nr 12, matura 2015 (poziom podstawowy)
Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność $\frac{2}{7}< \frac{x}{14} < \frac{4}{3}$ ?

A. 14
B. 15
C. 16
D. 17