Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie nierówności liniowych

Zadanie - nierówność liniowa z parametrem

Rozwiązać nierówność:

ze względu na niewiadomą x.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x^2+ax<(x-a)^2\\ x^2+ax<x^2-2ax+a^2$
$\cancel{x^2}-\cancel{x^2}+ax+2ax<a^2\\ 3ax<a^2/:3 \\ ax<\frac{1}{3}a^2$

$1) \ a=0 \\ 0\cdot x<\frac{1}{3}\cdot 0^2 \\ 0<0$

$2) \ a>0 \\ ax<\frac{1}{3}a^2/:a \\ x<\frac{1}{3}a$

$3) \ a>0 \\ ax<\frac{1}{3}a^2/:a \\ x>\frac{1}{3}a$

Gdy a=0 nierówność jest sprzeczna.
Gdy a>0 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: $(-\infty;\frac{1}{3}a)$
Gdy a<0 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: $(\frac{1}{3}a;+\infty)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności pozbywamy się nawiasów po obu stronach nierówności. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$x^2+ax<(x-a)^2\\ x^2+ax<x^2-2ax+a^2$

Następnie wyrazy z niewiadomą przenosimy na lewą stronę nierówności i pozostałe wyrazy na stronę prawą. Redukujemy wyrazy podobne i otrzymujemy wynik.

$\cancel{x^2}-\cancel{x^2}+ax+2ax<a^2\\ 3ax<a^2/:3 \\ ax<\frac{1}{3}a^2$

W zależności od wartości parametru a mamy różne przypadki:

Przypadek 1

Jeżeli a=0 otrzymujemy wówczas:

$a=0 \\ 0\cdot x<\frac{1}{3}\cdot 0^2 \\ 0<0$

Nierówność jest nieprawdziwa. W tym przypadku nie ma rozwiązań.

Przypadek 2

Jeżeli a>0 możemy podzielić obie strony przez a bez zmiany zwrotu nierówności, otrzymujemy wówczas:

$a>0 \\ ax<\frac{1}{3}a^2/:a \\ x<\frac{1}{3}a$

Wynik zapisujemy w postaci przedziału liczbowego: $(-\infty;\frac{1}{3}a)$ .

Przypadek 3

Jeżeli a<0 możemy podzielić obie strony przez a, ale ze zmianą zwrotu nierówności. Otrzymujemy wówczas:

$a>0 \\ ax<\frac{1}{3}a^2/:a \\ x>\frac{1}{3}a$

Wynik zapisujemy w postaci przedziału liczbowego: $(\frac{1}{3}a;+\infty)$ .

Odpowiedź

Gdy a=0 nierówność jest sprzeczna.
Gdy a>0 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: $(-\infty;\frac{1}{3}a)$
Gdy a<0 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: $(\frac{1}{3}a;+\infty)$

Zadania podobne

Zadanie - nierówność liniowa
Rozwiązać nierówność:
a) $\frac{1}{2}(x-1)+x\geq 5-2(x+2)$
b) $(x-5)^2\geq (x+4)^2$
c) $\frac{2x-3}{5}>\frac{1-x}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierównośćliniowa - zadanie z treścią
W pewnej liczbie dwucyfrowej liczba jedności jest o 4 większa od liczby dziesiątek. Znaleźć tę liczbę, jeśli wiadomo, że jest większa od 40 i mniejsza od 50.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - nierówności - zadanie z treścią
Dziadek jest dwa razy starszy od wnuczka. Kiedy suma ich wieku przekroczy 90 lat?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2015 (poziom podstawowy)
Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność $\frac{2}{7}< \frac{x}{14} < \frac{4}{3}$ ?

A. 14
B. 15
C. 16
D. 17

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2017 (poziom podstawowy)
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2 - 3x ≥ 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.