Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - nierówność liniowa z parametrem


Rozwiązać nierówność: x^2+ax<(x-a)^2 ze względu na niewiadomą x.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

x^2+ax<(x-a)^2\\ x^2+ax<x^2-2ax+a^2
\cancel{x^2}-\cancel{x^2}+ax+2ax<a^2\\ 3ax<a^2/:3 \\ ax<\frac{1}{3}a^2

1) \ a=0 \\ 0\cdot x<\frac{1}{3}\cdot 0^2 \\ 0<0

2) \ a>0 \\ ax<\frac{1}{3}a^2/:a \\ x<\frac{1}{3}a

3) \ a>0 \\ ax<\frac{1}{3}a^2/:a \\ x>\frac{1}{3}a

Gdy a=0 nierówność jest sprzeczna.
Gdy a>0 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: (-\infty;\frac{1}{3}a)
Gdy a<0 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: (\frac{1}{3}a;+\infty)

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W pierwszej kolejności pozbywamy się nawiasów po obu stronach nierówności. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Mamy więc:

x^2+ax<(x-a)^2\\ x^2+ax<x^2-2ax+a^2

Następnie wyrazy z niewiadomą przenosimy na lewą stronę nierówności i pozostałe wyrazy na stronę prawą. Redukujemy wyrazy podobne i otrzymujemy wynik.

\cancel{x^2}-\cancel{x^2}+ax+2ax<a^2\\ 3ax<a^2/:3 \\ ax<\frac{1}{3}a^2

W zależności od wartości parametru a mamy różne przypadki:

Przypadek 1

Jeżeli a=0 otrzymujemy wówczas:

a=0 \\ 0\cdot x<\frac{1}{3}\cdot 0^2 \\ 0<0

Nierówność jest nieprawdziwa. W tym przypadku nie ma rozwiązań.

Przypadek 2

Jeżeli a>0 możemy podzielić obie strony przez a bez zmiany zwrotu nierówności, otrzymujemy wówczas:

a>0 \\ ax<\frac{1}{3}a^2/:a \\ x<\frac{1}{3}a

Wynik zapisujemy w postaci przedziału liczbowego: (-\infty;\frac{1}{3}a).

Przypadek 3

Jeżeli a<0 możemy podzielić obie strony przez a, ale ze zmianą zwrotu nierówności. Otrzymujemy wówczas:

a>0 \\ ax<\frac{1}{3}a^2/:a \\ x>\frac{1}{3}a

Wynik zapisujemy w postaci przedziału liczbowego: (\frac{1}{3}a;+\infty).

ksiązki Odpowiedź

Gdy a=0 nierówność jest sprzeczna.
Gdy a>0 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: (-\infty;\frac{1}{3}a)
Gdy a<0 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział: (\frac{1}{3}a;+\infty)

© medianauka.pl, 2010-02-28, ZAD-653


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.