Rozwiązywanie nierówności liniowych
z jedną niewiadomą

Poniżej prosty przykład rozwiązania nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Zadanie

Rozwiązać nierówność: $\frac{5}{8}-\frac{3x}{2}\leq{1}$

Rozwiązanie:
$\frac{5}{8}-\frac{3x}{2}\leq{1}\\{-\frac{3}{2}x\leq{1}-\frac{5}{8}}\\{-\frac{3}{2}x\leq{\frac{3}{8}}/\cdot{(-\frac{2}{3})}}\\{x\geq-\frac{3}{8}\cdot{\frac{2}{3}}}\\{x\geq-\frac{1}{4}}$

Odpowiedź: $x\in{\langle-\frac{1}{4};+\infty)}$

Nierówności liniowe z parametrem

Nie zawsze w nierówności jawnie zapisywane są liczby. Zamiast nich stosuje się oznaczenia literowe, nazywane parametrami, a nierówność zawierająca takie oznaczenia literowe jest nazywana nierównością z parametrem. Zawsze w takim równaniu musimy wskazać niewiadomą lub ze względu na jaką zmienną należy rozwiązać daną nierówność.

Cel parametryzowania został omówiony przy okazji rozwiązywanie równań pierwszego stopnia

Zadanie

Rozwiązać nierówność ze względu na niewiadomą x.
$mx-x-5\geq{0}\\{(m-1)x\geq{5}}$

1) Jeżeli m=1, wówczas nierówność jest sprzeczna ( $0\cdot{x}\geq{5}$ )
2) Jeżeli $m\neq{1}\quad{i}\quad{m-1>0}$ wówczas:
$(m-1)x\geq{5}/:(m-1)\\{x\geq{\frac{5}{m-1}}}$
3) Jeżeli $m\neq{1}\quad{i}\quad{m-1<0}$ wówczas:
$(m-1)x\geq{5}/:(m-1)\\{x\leq{\frac{5}{m-1}}}$

Odpowiedź: Dla m=1 nierówność nie ma rozwiązania, dla m>1 zbiorem rozwiązań jest przedział $\langle{\frac{5}{m-1}};+\infty)$ , dla m<1 zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział $(-\infty;\frac{5}{m-1}\rangle$

Na podstawie tego przykładu widać, że jeżeli mnożymy obie strony nierówności przez wyrażenie, co do znaku którego nie jesteśmy pewni, trzeba prowadzić często zawiłą analizę przypadków. Jeszcze gorzej jest w przypadku, gdy mnożymy obie strony nierówności przez zmienną. Należy unikać mnożenia stron nierówności przez wyrażenia zawierające niewiadomą.

Zadania z treścią

Osobną grupę zadań stanowią zadania z treścią. Najważniejsze w procesie rozwiązywania takich zadań jest dobre oznaczenie niewiadomej i zapisanie zdania logicznego wypowiadanego w treści zadania za pomocą nierówności.

Zadanie

Paweł jest o 2 lata starszy od Piotrka. Kiedy suma wieku chłopców będzie większa od dziesięciokrotności różnicy wieku starszego chłopca i młodszego?

Niech x oznacza wiek Piotrka.
Wówczas x+2 - wiek Pawła.

Układamy nierówność: x+(x+2)>10(x+2-x) (rozpatrujemy przypadek, kiedy od wieku starszego chłopca odejmujemy wiek chłopca młodszego, w przeciwnym przypadku warunek jest zawsze spełniony)
2x+2>20
2x>18 /:2
x>9

Odpowiedź: Warunek jest spełniony, gdy Piotr ma powyżej 9 lat, a Paweł powyżej 11 lat.