Równanie

wiadomości podstawowe

Równanie z jedną niewiadomą jest to forma zdaniowa w postaci:

gdzie f, g oznaczają funkcje zmiennej rzeczywistej. Zmienną x nazywamy niewiadomą.

Przykład

Przykłady równań:
$x=5\\{x+1=0}\\{-x+1=2x+44}\\{x^3+x^4=1+x^2}\\{\sqrt{x}+1=sinx}\\{\frac{x^4-\sqrt{\frac{1}{x+1}}}{log_2{x-1}}+1=\sin{x-sqrt{1+2x}}\\{m^2+m=2m-1}$
(tutaj niewiadomą jest m).

Dziedzina równania f(x)=g(x) jest to część wspólna dziedzin funkcji f, g.

Przykład

Jaka jest dziedzina równania $\sqrt{x}=\frac{1}{x}$ ?

Dziedziną funkcji $\sqrt{x}$ jest ${R_+}\cup{\lbrace}{0}\rbrace$ , a funkcji $\frac{1}{x}$ jest zbiór ${R\backslash}\lbrace{0}\rbrace$ . Zatem dziedziną tego równania jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich $R_{+}$ .

Zadanie

Znaleźć dziedzinę równania $\sqrt{x-2}=3$ .

Rozwiązanie:
$x-2\geq{0}\\{x}\geq{2}$

Odpowiedź: Dziedziną tego równania jest zbiór $\langle{2};{+\infty)}$ .

Rozwiązanie równania (pierwiastek równania) jest to każda liczba, która spełnia to równanie. Zbiór rozwiązań równania jest to zbiór utworzony ze wszystkich rozwiązań tego równania. Aby rozwiązać równanie należy znaleźć jego zbiór rozwiązań.

Przykład

Zbadajmy równanie x²-2=2.
Możemy odgadnąć, że jednym z rozwiązań jest liczba 2. Sprawdźmy to: zdanie 2²-2=2 jest prawdziwe. Ale liczba -2 też spełnia to równanie. Zbiór rozwiązań tego równania to {-2,2}.

Równania są równoważne jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań.
Jeżeli równanie nie ma rozwiązań (zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty), to takie równanie nazywamy sprzecznym.
Jeżeli równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, to równanie takie nazywamy tożsamościowym.

Przykład

Przykład równań równoważnych: x+1=2 i x-1=0. W Obu równaniach zbiorem rozwiązań jest zbiór {1}.
Przykład równania tożsamościowego: x+1=x+1. Równanie jest spełnione dla każdej liczby rzeczywistej.
Przykład równania sprzecznego: x+1=x. Równanie nie ma rozwiązania, to znaczy nie istnieje taka liczba, która podstawiona pod niewiadomą x spełni daną równość.