Nauka » Matematyka » Równanie

Zadanie - dziedzina równania

Znaleźć dziedzinę równania:
$x=\frac{1}{\sqrt{x}}$
b) $\frac{x}{2x+1}=\frac{1}{x^2-4x+4}$

a) Rozwiązanie zadania

Po lewej stronie równania mamy funkcję f(x)=x, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Po prawej stronie równania mamy funkcję g(x), której dziedzinę musimy wyznaczyć. Po pierwsze liczba pod pierwiastkiem może być zerem lub liczbą dodatnia, a mianownik ułamka musi być różny od zera. Zapiszmy te warunki:

$\begin{cases} x\geq 0\\ \sqrt{x}\neq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq 0\\ x\neq 0 \end{cases}$

Oba warunki są spełnione (szukamy części wspólnej obu zbiorów) gdy x>0. Jeśli uwzględnimy dziedzinę lewej strony równania, mamy odpowiedź:

Odpowiedź

x>0

b) Rozwiązanie zadania

Po lewej i prawej stronie równania mamy ułamki, ich mianowniki muszą być różne od zera. Określmy najpierw dziedzinę funkcji znajdującej się po lewej stronie równania:

$2x+1\neq 0\\ 2x\neq -1/:2 \\ x\neq -\frac{1}{2}$

Do wyznaczenia dziedziny funkcji znajdującej się po prawej stronie równania wykorzystamy wzór skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$x^2-4x+4\neq 0 \\ x^2-2\cdot2\cdot x +2^2\neq 0 \\ (x-2)^2\neq 0 \\ x\neq 2$

Oba warunki muszą być spełnione spełnione.

Odpowiedź

$x\in R/ \lbrace -\frac{1}{2},2 \rbrace$

Zadania podobne

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.