Nauka » Matematyka » Równanie

Zadanie - dziedzina równania

Treść zadania:

Znaleźć dziedzinę równania:

a) \(x=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

b) \(\frac{x}{2x+1}=\frac{1}{x^2-4x+4}\)

Rozwiązanie części a)

Po lewej stronie równania mamy funkcję \(f(x)=x\), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Po prawej stronie równania mamy funkcję \(g(x)\), której dziedzinę musimy wyznaczyć. Po pierwsze liczba pod pierwiastkiem może być zerem lub liczbą dodatnią, a mianownik ułamka musi być różny od zera. Zapiszmy te warunki:

\(\begin{cases} x\geq 0\\ \sqrt{x}\neq 0 \end{cases}\) \(\begin{cases} x\geq 0\\ x\neq 0 \end{cases}\)

Oba warunki są spełnione (szukamy części wspólnej obu zbiorów) gdy \(x>0\). Jeśli uwzględnimy dziedzinę lewej strony równania, mamy odpowiedź:

Odpowiedź

\(x>0\)

Rozwiązanie części b)

Po lewej i prawej stronie równania mamy ułamki, ich mianowniki muszą być różne od zera. Określmy najpierw dziedzinę funkcji znajdującej się po lewej stronie równania:

\(2x+1\neq 0\)

\(2x\neq -1/:2\)

\(x\neq -\frac{1}{2}\)

Do wyznaczenia dziedziny funkcji znajdującej się po prawej stronie równania wykorzystamy wzór skróconego mnożenia:

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

Mamy więc:

\(x^2-4x+4\neq 0\)

\(x^2-2\cdot2\cdot x +2^2\neq 0\)

\((x-2)^2\neq 0\)\(x\neq 2\)

Oba warunki muszą być spełnione.