Układ równań

Jeżeli mamy dwa równania, to może się zdarzyć, że pewna para liczb spełnia zarówno jedno, jak i drugie równanie (spełnia jednocześnie oba równania). Powyższe możemy zapisać używając do tego celu klamry, która zastępuje słowo "i". Takie równania spięte klamrą będziemy nazywać układem równań.

$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$

Jeżeli oba równania w układzie równań są równaniami pierwszego stopnia, to układ taki nazywamy układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązanie układu równań

Definicja

Każdą parę liczb (x,y), która jest jednocześnie rozwiązaniem dwóch równań nazywamy rozwiązaniem układu tych równań.

Przykład

Oto przykład układu równań:

$\begin{cases}2x+y=0\\x-y=1\end{cases}$

Para liczb $(\frac{1}{3},-\frac{2}{3})$ jest rozwiązaniem powyższego układu równań. Możemy to sprawdzić, podstawiając te liczby do obu równań.

$\begin{cases}2\cdot{\frac{1}{3}+(-\frac{2}{3})=0}\\{\frac{1}{3}-(-\frac{2}{3})=1}\end{cases}\\{\begin{cases}0=0\\{1=1}\end{cases}$

Rozwiązać układ równań to znaczy znaleźć wszystkie rozwiązania tego układu równań, albo wykazać, że jest nim zbiór pusty. Zbiór rozwiązań układu równań jest iloczynem rozwiązań (częścią wspólną) wszystkich zbiorów rozwiązań poszczególnych równań układu.

Interpretacja geometryczna układu równań

Wykresami równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi są proste. Proste mogą się przecinać w jednym punkcie, być równoległe lub pokrywać się.

1) Jeżeli proste przecinają się w jednym punkcie, to układ równań nazywamy układem równań niezależnych.

Para liczb, będąca współrzędnymi punktu przecięcia się obu prostych stanowi rozwiązanie tego układu.

wykres

2) Jeżeli proste są równoległe, to układ równań nazywamy układem równań sprzecznych.

wykres

3) Jeżeli proste pokrywają się, to układ równań nazywamy układem równań zależnych.

wykres

Czasem rozpatrujemy układy wielu równań z wieloma zmiennymi. Poniżej przykłady takich układów.

Przykład

$\begin{cases}2x-3x=0\\-x-y=-4\\55x-22y=-18\end{cases}$

$\begin{cases}x+y+z=0\\2x-y-5z=4\\-x-2y-12z=8\end{cases}$

W zależności od tego, co jest wykresem poszczególnych równań, zawsze układ tych równań reprezentuje część wspólna wykresów poszczególnych równań.

Pytania

Jak rozwiązać układ równań?

Aby rozwiązać układ równań stosujemy kilka metod obliczeniowych. Omawiamy je w oddzielnych artykułach. Oto one:

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Układ równań

Zadanie - zastosowanie układu równań
Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach y=3x-5 oraz y=-5x+3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach 2x-3y=4 i 5x-6y=7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że:

A. P=(1,2)
B. P=(-1,2)
C. P=(-1,-2)
D. P=(1,-2)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji f i g, określonych wzorami f(x)=x-2 oraz g(x)=5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom podstawowy)
Układ równań $\begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases}$ opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie :

A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2015 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych są dane punkty A =(-43,-12) , B = (50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2014
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
wzór
Wskaż ten układ:
A. $\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}$
B. $\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}$
C. $\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}$
D. $\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2019

Para liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań

$\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}$

dla:

A. a=-1

B. a=1

C. a=-2

D. a=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu w jednym z równań układu jednej niewiadomej poprzez drugą i wstawieniu otrzymanego wyrażenia do drugiego równania.

Układy równań - metoda przeciwnych współczynników

Układy równań - Metoda przeciwnych współczynników.

Rozwiązywanie układów równań - metoda wyznaczników

Metoda wyznaczników należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie z parametrem.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.