Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja

Równanie

gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb a lub b jest różna od zera, a x, y - są zmiennymi,
nazywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład

Przykłady równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

$2x+3y+4=0\\{x+y=0}\\{\frac{x-2y}{3}-\sqrt{5}=-1}$

Definicja

Każdą parę liczb (m,n), która spełnia równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona do równania m za x oraz n za y daje równość prawdziwą) nazywamy rozwiązaniem tego równania.

Przykład

Dane jest równanie: x-y+1=0. Jest nieskończenie wiele par liczb, które spełniają to równanie. Są to dla przykładu: (1,2), (3,4), (0,1), (-5, -4) itd.

Interpretacja geometryczna

Prosta w układzie współrzędnych jest interpretacją geometryczną równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Jest to dość oczywiste. Wystarczy spojrzeć na postać funkcji liniowej, której wykresem jest prosta.
Analizując powyższy przykład równania wszystkie pary liczb, które stanowią jego rozwiązanie układają się w układzie współrzędnych na prostej o równaniu: y=x+1.

Przykład

Rozwiązać równanie: $\frac{x}{2}-3y+\frac{3}{4}=0$ .

Powyższe równanie można rozwiązać graficznie. Przekształćmy je do postaci funkcji liniowej.
$\frac{x}{2}-3y+\frac{3}{4}=0/\cdot{4}\\{2x-12y+3=0}\\{-12y=-2x-3/:(-12)}\\{y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}}$
Rozwiązaniem danego równania jest zbiór wszystkich par liczb (x,y) stanowiących współrzędne punktów prostej o równaniu: $y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}$ . Poniżej wykres równania.

wykres