Nierówność z dwiema niewiadomymi

Definicja

Każdą z nierówności

$ax+by+c<0\\{ax+by+c>0}\\{ax+by+c\leq{0}}\\{ax+by+c\geq{0}}$

gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb a lub b jest różna od zera, a x, y - są zmiennymi, nazywamy nierównością pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykład

Przykłady nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

$2x+4y+6\geq{0}\\{x-y>0}\\{\frac{4x-y}{12}-\sqrt{2}\leq{\sqrt{3}-1}}$

Definicja

Każdą parę liczb (m,n), która spełnia nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona do nierówności m za x oraz n za y daje nierówność prawdziwą) nazywamy rozwiązaniem tej nierówności.

Przykład

Dana jest nierówność: 2x+y-1>0. Jest nieskończenie wiele par liczb, które spełniają tę nierówność. Są to dla przykładu: (3,8), (3,-1), (-1,4) itd.

Interpretacja geometryczna

Interpretacją geometryczną w układzie współrzędnych nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest półpłaszczyzna wyznaczona przez prostą o równaniu .
Prosta wyznacza na płaszczyźnie dwie półpłaszczyzny. To która jest wykresem nierówności zależy od znaku nierówności. Jeżeli nierówność jest ostra, do wykresu nierówności nie zalicza się samej prostej wyznaczającej półpłaszczyznę, w przypadku nieostrej nierówności - prosta należy do wykresu nierówności razem z półpłaszczyzną.

Przykład

Rozwiązać nierówność: $2x+y-1\geq{0}$ .

Powyższą nierówność można rozwiązać graficznie. Przekształćmy ją.
$2x+y-1\geq{0}\\{y}\geq{-2x+1}$
Wykreślamy zatem w układzie współrzędnych prostą o równaniu y=-2x+1 i zaznaczamy tę część płaszczyzny, która zawiera punkty o współrzędnych spełniających daną nierówność, zaznaczając że prosta też należy do wykresu tej nierówności.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Nierówność z dwiema niewiadomymi

Zadanie -nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
Dana jest nierówność: . Dla jakich wartości parametru a para liczb (-1,a) spełnia nierówność?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie -nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
Wyznaczyć zbiór rozwiązań nierówności:
a) $-y-x\geq -1$
b)
c) $y+x\geq 2y+x+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - półpłaszczyzna w układzie współrzędnych
Opisać za pomocą nierówności półpłaszczyznę przedstawioną na rysunku:

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie z dwiema niewiadomymi
Równanie ax+by+c=0 nazywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Test wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.