Strona główna » Matematyka » Nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Zadanie - półpłaszczyzna w układzie współrzędnych

Opisać za pomocą nierówności półpłaszczyznę przedstawioną na rysunku:
półpłaszczyzna w układzie współrzędnych

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(1,0), \ (-1,1) \\ \underline{_+ \begin{cases}0=a+b \\ 1=-a+b \end{cases}} \\ 1=2b/:2 \\ b=\frac{1}{2}$
$\begin{cases}0=a+b \\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \\\begin{cases} 0=a+\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \\ \begin{cases} a=-\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$
Równanie prostej wyznaczającej półpłaszczyznę:
$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
Szukana nierówność:
$y\geq -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Najpierw musimy znaleźć równanie prostej. Wiemy, że przechodzi przez punkty o współrzędnych (1,0) oraz (-1,1). Równanie prostej ma postać:

Wstawiamy więc do równania prostej współrzędne obu punktów, wyznaczając w ten sposób współczynniki a oraz b.

$(1,0), \ (-1,1)\\ y=ax+b \\ \begin{cases}0=a\cdot 1+b \\ 1=a\cdot(-1)+b \end{cases} \\ \underline{_+ \begin{cases}0=a+b \\ 1=-a+b \end{cases}} \\ 1=2b/:2 \\ b=\frac{1}{2}$ tło

Otrzymaną wartość współczynnika b wstawiamy do pierwszego równania układu:

$\begin{cases}0=a+b \\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \\\begin{cases} 0=a+\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases} \\ \begin{cases} a=-\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$

Zatem równanie naszej prostej ma postać:

$y=ax+b \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

Spójrzmy teraz na wykres. Półpłaszczyzna leży powyżej prostej, a więc zaznaczono wszystkie wartości większe od tych, które leżą na prostej. Ponieważ prosta nie jest narysowana linią przerywaną, więc też należy do rozwiązania nierówności (nierówność nie jest ostra). Możemy więc już napisać rozwiązanie: