Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom podstawowy)

Rozwiązanie zadania

Mamy do czynienia z układem równań liniowych, a wiec możliwe są trzy przypadki: 1) że proste, które opisują te równania przecinają sie w jednym punkcie (wówczas układ równań ma jedno rozwiązanie), 2) proste są równoległe i nie pokrywają się (wówczas układ równań nie posiada rozwiązania) i 3) proste te pokrywają się (wówczas układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań).

Rozwiążmy nasz układ.

\(\begin{cases}x-y=3\\2x+0,5y=4/\cdot 2 \end{cases}\)

\(\underline{\begin{cases}x-y=3\\4x+y=8\end{cases}}\)

\(x+4x-y+y=3+8\)

\(5x=11\)

\(x=\frac{11}{5}\)

Wystarczy podstawić za \(x\) otrzymaną wartość i obliczymy \(y\). Nie musimy już jednak tego robić, gdyż w zadaniu nikt nie wymaga podania rozwiązania. Wiemy, że dwie proste przecinają się w danym punkcie o wyliczonych współrzędnych, a więc układ opisuje w układzie współrzędnych dokładnie jeden punkt.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2016-12-04, ZAD-3303

Zadania podobne

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:

Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=-5x+3\)

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:

a) \(\begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}\)

b) \(\begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}\)

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:

a) \(\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}\)

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:

a) \(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}\)

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:

a) \(\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}\)

c) \(\begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}\)

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:

A. \(P=(1,2)\)

B. \(P=(-1,2)\)

C. \(P=(-1,-2)\)

D. \(P=(1,-2)\)

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:

A. \(P=(1,2)\)

B. \(P=(-1,2)\)

C. \(P=(-1,-2)\)

D. \(P=(1,-2)\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wykresy funkcji \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5-ax\), przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta AB przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

Wskaż ten układ:

A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}"\)

C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}"\)

D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań

\(\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}\)

dla:

A. \(a=-1\)

B. \(a=1\)

C. \(a=-2\)

D. \(a=2\)

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.

A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_0, y=y_0\). Wtedy

A. \(x_0>0\) i \(y_0>0\)

B. \(x_0>0\) i \(y_0<0\)

C. \(x_0<0\) i \(y_0>0\)

D. \(x_0<0\) i \(y_0<0\)