Nauka » Matematyka » Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

Zadanie - układ równań - metoda podstawiania

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) $\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Najłatwiej będzie wyznaczyć zmienną y z pierwszego równania i wstawić obliczone wyrażenie za y do równania drugiego.

$\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases} \\ \begin{cases} y=3x+2\\ -2(3x+2)+6x=1 \end{cases}\\ \begin{cases} y=3x+2\\ \cancel{-6x}-4+\cancel{6x}=1 \end{cases} \\ \begin{cases} y=3x+2\\ -4=1 \end{cases}$ tło

Otrzymaliśmy drugie z równań sprzeczne. Zatem układ równań nie ma rozwiązania - układ równań jest układem równań sprzecznych.

Odpowiedź

Układ równań nie posiada rozwiązania.

b) Rozwiązanie szczegółowe

Najłatwiej będzie wyznaczyć zmienną x z pierwszego równania i wstawić obliczone wyrażenie za x do równania drugiego.

$\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}/:2\\ -12x-3y=-2 \end{cases}\\ \begin{cases} x+\frac{1}{4}y=\frac{1}{6}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}\\ \begin{cases} x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{6}\\ -12(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{6})-3y=-2 \end{cases}\\ \begin{cases} x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{6}\\ \frac{12}{4}y-\frac{12}{6}-3y=-2 \end{cases}\\ \begin{cases} x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{6}\\ \cancel{3y}-2-\cancel{3y}=-2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{6}\\ -2=-2 \end{cases}$ tło

Otrzymaliśmy w efekcie tożsamość. Zatem układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań - układ równań jest układem równań zależnych.