Nauka » Matematyka » Układy równań - metoda przeciwnych współczynników

Zadanie - układ równań - metoda przeciwnych współczynników

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) $\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}$
b) $\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}$

a) Rozwiązanie szczegółowe

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim dobraniu współczynników przy jednej z niewiadomych, aby były liczbami przeciwnymi. W naszym przypadku uzyskamy ten cel, mnożąc obie strony pierwszego równania przez liczbę $-\sqrt{2}$

$\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}/\cdot -\sqrt{2}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\\ \begin{cases} -2x+\sqrt{12}y=-\sqrt{10}\\ \ \ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}$

Przy zmiennej x mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami, uwzględniając dodatkowo rachunki $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$ :

$\underline{_+\begin{cases} -2x+2\sqrt{3}y=-\sqrt{10}\\ \ \ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}}\\ -\cancel{2x}+\cancel{2x}+2\sqrt{3}y+4y=-\cancel{\sqrt{10}}+\cancel{\sqrt{10}}\\ (4+2\sqrt{3})y=0/:(4+2\sqrt{3})\\ y=0$

Wyznaczoną wartość zmiennej y wstawiamy do dowolnego równania. My wykorzystamy pierwsze równanie:

$\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases} \sqrt{2}x-0=\sqrt{5}/:\sqrt{2}\\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=0 \end{cases}$

Odpowiedź

$\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}}{2}\\ y=0 \end{cases}$

b) Rozwiązanie szczegółowe

$\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}/\cdot 2 \\ -4x-2y=1 \end{cases}\\ \begin{cases} 4x+2y=-1\\ -4x-2y=1 \end{cases}$

Przy zmiennej x mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:

$\underline{_+\begin{cases} 4x+2y=-1\\ -4x-2y=1 \end{cases}}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=0$

Otrzymaliśmy równość prawdziwą dla każdej wartości zmiennych x i y, to znaczy, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ równań zależnych)

Odpowiedź

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

c) Rozwiązanie szczegółowe

$\begin{cases} 3x-y=5/\cdot 2 \\-6x+2y=-1 \end{cases}\\ \begin{cases} 6x-2y=10\\-6x+2y=-1 \end{cases}$

Przy zmiennej y mamy teraz liczby przeciwne. Możemy do siebie dodać równania stronami:

$\underline{_+\begin{cases} 6x-2y=10\\-6x+2y=-1\end{cases}}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=9$

Otrzymaliśmy równość nieprawdziwą, to znaczy, że układ równań nie ma rozwiązań (układ równań sprzecznych)

Odpowiedź

Układ równań nie ma rozwiązań.

Zadania podobne

Zadanie - wykres funkcji kwadratowej
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
parabola

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - układ równań - metoda przeciwnych współczynników
Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) $\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}$
b) $\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach 2x-3y=4 i 5x-6y=7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że:

A. P=(1,2)
B. P=(-1,2)
C. P=(-1,-2)
D. P=(1,-2)

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.