Nauka » Matematyka » Układ równań

Zadanie maturalne nr 10, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykresy funkcji f i g, określonych wzorami f(x)=x-2 oraz g(x)=5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Rozwiązanie zadania

Aby wyznaczyć punkty przecięcia się wykresów funkcji musimy rozwiązać układ równań opisujących te funkcje. Rozwiązanie układu określa miejsca przecięcia się wykresów tych funkcji.

$\begin{cases}y=x-2\\y=-ax+5 \end{cases}\\ x-2=-ax+5\\ ax+x=7\\x(a+1)=7/:(a+1), \quad a\neq -1\\x=\frac{7}{a+1}\\ y =x-2\\ y=\frac{7}{a+1}-2\\ y=\frac{7-2(a+1)}{a+1}\\ y=\frac{7-2a-2}{a+1}\\ y=\frac{-2a+5}{a+1}$

Sprawdźmy jeszcze, co się dzieje, gdy a=-1:

$\begin{cases}y=x-2\\y=x+5 \end{cases}\\ x-2=x+5\\-2=5$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.

Z warunku zadania wynika, że współrzędne punktu przecięcia, a więc nasze rozwiązanie układu równań, powinny być dodatnie. Sprawdźmy to dla współrzędnej x:

$\frac{7}{a+1}>0\\a+1>0\\a>-1$

Ponieważ a+1>0 (z powyższych rachunków), możemy napisać, że:

$\frac{-2a+5}{a+1}>0\\-2a+5>0\\-2a>-5\\a<\frac{5}{2}$

Otrzymaliśmy zatem rozwiązanie zadania:

Odpowiedź

$a\in (-1;\frac{5}{2})$

Zadania podobne

Zadanie - zastosowanie układu równań
Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach y=3x-5 oraz y=-5x+3

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 6, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach 2x-3y=4 i 5x-6y=7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że:

A. P=(1,2)
B. P=(-1,2)
C. P=(-1,-2)
D. P=(1,-2)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom podstawowy)
Układ równań $\begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases}$ opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie :

A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2015 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych są dane punkty A =(-43,-12) , B = (50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 1, matura 2014
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
wzór

Wskaż ten układ:
A. $\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}$
B. $\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}$
C. $\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}$
D. $\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.