Zadanie maturalne nr 6, matura 2016 (poziom podstawowy)
Treść zadania:
Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:
A. \(P=(1,2)\)
B. \(P=(-1,2)\)
C. \(P=(-1,-2)\)
D. \(P=(1,-2)\)
Rozwiązanie zadania
Jeżeli proste przecinają się w jednym punkcie, to układ równań nazywamy układem równań niezależnych. Para liczb, będąca współrzędnymi punktu przecięcia się obu prostych stanowi rozwiązanie tego układu. Zatem aby znaleźć punkt przecięcia się prostych o danych równaniach, należy po prostu rozwiązać układ równań. Tu zastosujemy metodę przeciwnych współczynników.
\(\begin{cases}2x-3y=4/\cdot (-2)\\5x-6y=7\end{cases}\)
\(\underline{ \begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases}}\)
\(\quad \quad x=-1\)
Otrzymaną wartość zmiennej \(x\) podstawiamy do jednego z równań (tutaj do pierwszego) i otrzymujemy:
\(2\cdot (-1)-3y=4\)
\(-2-3y=4\)
\(-3y=6/:(-3)\)
\(y=-2\)
Otrzymaliśmy więc rozwiązanie. Są to liczby \(x=-1\) i \(y=-2\), a więc punkt \(P=(-1,-2)\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-10-30, ZAD-3219
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:
Zadanie nr 2.
Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=-5x+3\)
Zadanie nr 3.
Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) \(\begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}\)
b) \(\begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}\)
Zadanie nr 4.
Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:
a) \(\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}\)
Zadanie nr 5.
Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) \(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}\)
Zadanie nr 6.
Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) \(\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}\)
c) \(\begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wykresy funkcji \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5-ax\), przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Układ równań
\(\begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases}\)
opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:
A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.
Zadanie nr 9 — maturalne.
W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta AB przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
Wskaż ten układ:
A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}"\)
C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}"\)
D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań
\(\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}\)
dla:
A. \(a=-1\)
B. \(a=1\)
C. \(a=-2\)
D. \(a=2\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.
A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)
D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.
Zadanie nr 14 — maturalne.
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_0, y=y_0\). Wtedy
A. \(x_0>0\) i \(y_0>0\)
B. \(x_0>0\) i \(y_0<0\)
C. \(x_0<0\) i \(y_0>0\)
D. \(x_0<0\) i \(y_0<0\)