Zadanie maturalne nr 10, matura 2021 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek poglądowy.
Wyznaczmy równanie prostej \(y=ax+b\), która przechodzi przez punkty A i B. Wówczas znajdziemy równanie prostej przechodzącej przez punkt styczności C z okręgiem i jego współrzędne oraz długość promienia.
\(\begin{cases} -6=8a+b\\ 15=5a+b \end{cases}\)
Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:
\(-6-15=8a-5a\)
\(-21=3a\)
\(a=-7\)
\(b=-6-8\cdot(-7)=50\)
Równanie prostej zawierającej A i B: \(y=-7x+50\).
Dla wyznaczenia promienia \(r\) skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. Odległość punktu \(P=(x_0,y_0)\) od prostej \(Ax+By+C=0\) wyrażona jest wzorem: \( d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)
Przekształcamy zatem do powyższej postaci nasze równanie i obliczamy \(r\) poprzez odległość środka okręgu \(O=(0,0)\) od punktu styczności .
\(7x+y-50=0\)
\(A=7, B=1, C=-50\)
\(r=\frac{|7\cdot 0+0-50|}{\sqrt{7^+1^2}}=\frac{50}{\sqrt{50}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}}\)
Ponieważ prosta OC jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-7x+50\), to jej współczynnik kierunkowy jest równy \(\frac{1}{7}\). Ponieważ przechodzi ona przez punkt \(O=(0,0)\), więc równanie tej prostej jest następujące: \(y=\frac{1}{7}x\).
Aby znaleźć współrzędne punktu C, rozwiązujemy układ
\(\begin{cases} y=\frac{1}{7}x\\ y=-7x+50 \end{cases}\)
Stąd:
\(\frac{1}{7}x=-7x+50/\cdot 7\)
\(x+49x=350\)
\(5x=350/:5\)
\(x=7\)
\(y=1\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-03, ZAD-4835
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?
Zadanie nr 2.
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).
Zadanie nr 4.
Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 6.
Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).
Zadanie nr 7.
Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału
A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)
B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)
C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)
D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.