Odległość punktów
Zanim wprowadzimy pojęcie odległości dwóch punktów, wprowadzimy pojęcie współliniowości:
Definicja
Współliniowość. Punkty są współliniowe (kolinearne) jeżeli należą do jednej prostej.
Aksjomat o odległości
Każdym dwóm punktom A i B można przyporządkować liczbę, którą nazywamy odległością punktów
Odległość oznaczamy następująco: |AB| lub |BA|
Odległość punktów musi spełniać łącznie następujące warunki:
- AB jest liczbą nieujemną i |AB| jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy A=B
- jeśli trzy punkty A, B i C nie są współliniowe, to zachodzą jednocześnie następujące nierówności:
|AB|+|BC|>|AC| i |BC|+|CA|>|BA| i |CA|+|AB|>|CB| - jeśli trzy punkty A, B i C są współliniowe, to zachodzi co najmniej jedna następujących równości:
|AB|+|BC|=|AC| i |BC|+|CA|=|BA| i |CA|+|AB|=|CB|
Wartość liczbowa odległości punktów zależy od tego, jaką odległość dwóch punktów przyjmiemy za jednostkę.

Jeżeli za jednostkę przyjmiemy odległość między punktami A i B (odległość między tymi punktami wynosi 1), to odległość punktów C i D wynosi 2, a sposób ich konstrukcji pokazano na rysunku.
Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Odległość punktów obliczamy ze wzoru:

Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.
To tak zwana odległość euklidesowa.
Powyższy wzór w prosty sposób pozwala obliczyćodległość między dwoma punktami, gdy dane są jego współrzędne, co ilustrujemy poniższym przykładem:
Przykład
Dane są punkty: A=(1,2), B=(-1,4). Obliczyć odległość między tymi punktami.
Korzystamy z powyższego wzoru:
Odległość punktu od figury
Definicja
Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą.

Definicja
Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury.

Animacja
Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej
wyrażona jest wzorem:

Zwykle nie mamy postaci prostej, jaka występuje we wzorze. Należy wówczas przekształcić najczęściej postać kierunkową prostej do postaci
Powyższy wzór jest przydatny przy wyznaczaniu równań dwusiecznych kątów.
© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-974
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Odległość punktów
Zadanie - odległość punktów
Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5
Zadanie - odległość punktów
Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?
Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu (x-3)2+(y-3)2=4
Zadanie - odległość punktu od prostej
Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu
Zadanie - odległość punktu od figury
Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)
Zadanie - odległość punktu od prostej
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa
Zadanie - odległość punktów
Dane są punkty . Obliczyć odległość |AB|.
Zadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.
Zadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.
Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A.
B.
C.
D. 4
Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)
W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem
AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu
S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału
A.
B.
C.
D.
Inne zagadnienia z tej lekcji

Planimetria jest działem geometrii, która zajmuje się własnościami płaszczyzny i jej podzbiorów. Planimetria jest więc geometrią płaszczyzny.

Zbiór punktów należących do prostej, które leżą po jednej stronie punktu A wraz z tym punktem nazywamy półprostą, a punkt A nazywamy początkiem półprostej.

Odcinek \overline{AB} jest to zbiór punktów leżących na prostej między punktami A i B wraz z punktami A i B. Punkty A i B nazywamy końcami odcinka

Tworzymy łańcuch odcinków, łącząc każde dwa kolejne punkty tego ciągu odcinkami. Łamana jest to figura utworzona z tak skonstruowanych odcinków...

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.