Odległość punktów

Zanim wprowadzimy pojęcie odległości dwóch punktów, wprowadzimy pojęcie współliniowości:

Definicja

Współliniowość. Punkty są współliniowe (kolinearne) jeżeli należą do jednej prostej.

Aksjomat o odległości

Każdym dwóm punktom A i B można przyporządkować liczbę, którą nazywamy odległością punktów

Odległość oznaczamy następująco: |AB| lub |BA|

Odległość punktów musi spełniać łącznie następujące warunki:

• AB jest liczbą nieujemną i |AB| jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy A=B
• jeśli trzy punkty A, B i C nie są współliniowe, to zachodzą jednocześnie następujące nierówności:
  |AB|+|BC|>|AC| i |BC|+|CA|>|BA| i |CA|+|AB|>|CB|
  
  
• jeśli trzy punkty A, B i C są współliniowe, to zachodzi co najmniej jedna następujących równości:
  |AB|+|BC|=|AC| i |BC|+|CA|=|BA| i |CA|+|AB|=|CB|
  
  

Wartość liczbowa odległości punktów zależy od tego, jaką odległość dwóch punktów przyjmiemy za jednostkę.

Jeżeli za jednostkę przyjmiemy odległość między punktami A i B (odległość między tymi punktami wynosi 1), to odległość punktów C i D wynosi 2, a sposób ich konstrukcji pokazano na rysunku.

Odległość punktów w układzie współrzędnych

Odległość punktów obliczamy ze wzoru:

Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

Przykład

Dane są punkty: A=(1,2), B=(-1,4). Obliczyć odległość między tymi punktami.

Korzystamy z powyższego wzoru:

© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-974

Inne zagadnienia z tej lekcji

Planimetria - przestrzeń, punkt, prosta.

Odległość punktów

Prawo trójkąta

Uporządkowanie punktów na prostej

Półprosta

Odcinek

Łamana

Test wiedzy

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie - odległość punktów
Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5

Zadanie - odległość punktów
Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?

Zadanie - odległość punktów
Dane są punkty . Obliczyć odległość |AB|.