Odległość punktów

Zanim wprowadzimy pojęcie odległości dwóch punktów, wprowadzimy pojęcie współliniowości:

Definicja

Współliniowość. Punkty są współliniowe (kolinearne) jeżeli należą do jednej prostej.

Aksjomat o odległości

Każdym dwóm punktom A i B można przyporządkować liczbę, którą nazywamy odległością punktów

Odległość oznaczamy następująco: |AB| lub |BA|

Odległość punktów musi spełniać łącznie następujące warunki:

AB jest liczbą nieujemną i |AB| jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy A=B
jeśli trzy punkty A, B i C nie są współliniowe, to zachodzą jednocześnie następujące nierówności:
|AB|+|BC|>|AC| i |BC|+|CA|>|BA| i |CA|+|AB|>|CB|
jeśli trzy punkty A, B i C są współliniowe, to zachodzi co najmniej jedna następujących równości:
|AB|+|BC|=|AC| i |BC|+|CA|=|BA| i |CA|+|AB|=|CB|

Wartość liczbowa odległości punktów zależy od tego, jaką odległość dwóch punktów przyjmiemy za jednostkę.

Jeżeli za jednostkę przyjmiemy odległość między punktami A i B (odległość między tymi punktami wynosi 1), to odległość punktów C i D wynosi 2, a sposób ich konstrukcji pokazano na rysunku.

Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Odległość punktów $A=(x_A,y_A),\quad{}B=(x_B,y_B)$ obliczamy ze wzoru:

$d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

To tak zwana odległość euklidesowa.

Powyższy wzór w prosty sposób pozwala obliczyćodległość między dwoma punktami, gdy dane są jego współrzędne, co ilustrujemy poniższym przykładem:

Przykład

Dane są punkty: A=(1,2), B=(-1,4). Obliczyć odległość między tymi punktami.

Korzystamy z powyższego wzoru:

$|AB|=\sqrt{(-1-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Odległość punktu od figury

Definicja

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą.

Definicja

Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury.

Animacja

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej wyrażona jest wzorem:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}$

Zwykle nie mamy postaci prostej, jaka występuje we wzorze. Należy wówczas przekształcić najczęściej postać kierunkową prostej do postaci

Powyższy wzór jest przydatny przy wyznaczaniu równań dwusiecznych kątów.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Odległość punktów

Zadanie - odległość punktów
Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktów
Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu (x-3)²+(y-3)²=4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od figury
Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa $\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktów
Dane są punkty $A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)$ . Obliczyć odległość |AB|.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)
ilustracja do zadania 13 , matura 2016 W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A.
B.
C.
D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Planimetria

Planimetria jest działem geometrii, która zajmuje się własnościami płaszczyzny i jej podzbiorów. Planimetria jest więc geometrią płaszczyzny.

Półprosta

Zbiór punktów należących do prostej, które leżą po jednej stronie punktu A wraz z tym punktem nazywamy półprostą, a punkt A nazywamy początkiem półprostej.

Odcinek