Logo Serwisu Media Nauka

Odległość punktów

Zanim wprowadzimy pojęcie odległości dwóch punktów, wprowadzimy pojęcie współliniowości:

Definicja Definicja

Współliniowość. Punkty są współliniowe (kolinearne) jeżeli należą do jednej prostej.

Twierdzenie Aksjomat o odległości

Każdym dwóm punktom A i B można przyporządkować liczbę, którą nazywamy odległością punktów

Odległość oznaczamy następująco: |AB| lub |BA|

Odległość punktów musi spełniać łącznie następujące warunki:

  • AB jest liczbą nieujemną i |AB| jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy A=B
  • jeśli trzy punkty A, B i C nie są współliniowe, to zachodzą jednocześnie następujące nierówności:
    |AB|+|BC|>|AC| i |BC|+|CA|>|BA| i |CA|+|AB|>|CB|
    rysunek
  • jeśli trzy punkty A, B i C są współliniowe, to zachodzi co najmniej jedna następujących równości:
    |AB|+|BC|=|AC| i |BC|+|CA|=|BA| i |CA|+|AB|=|CB|
    rysunek

Teoria Wartość liczbowa odległości punktów zależy od tego, jaką odległość dwóch punktów przyjmiemy za jednostkę.

odlegość punktów

Jeżeli za jednostkę przyjmiemy odległość między punktami A i B (odległość między tymi punktami wynosi 1), to odległość punktów C i D wynosi 2, a sposób ich konstrukcji pokazano na rysunku.

Odległość punktów w układzie współrzędnych

rysunek

Odległość punktów A=(x_A,y_A),\quad{}B=(x_B,y_B) obliczamy ze wzoru:

d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

Przykład Przykład

Dane są punkty: A=(1,2), B=(-1,4). Obliczyć odległość między tymi punktami.

Korzystamy z powyższego wzoru:

|AB|=\sqrt{(-1-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}


© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-974





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie 530 - odległość punktów
Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5

zadanie-ikonka Zadanie 531 - odległość punktów
Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?

zadanie-ikonka Zadanie 553 - odległość punktów
Dane są punkty A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1). Obliczyć odległość |AB|.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.