Nauka » Matematyka » Odległość punktów

Zadanie - odległość punktu od prostej

Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu

Rozwiązanie zadania uproszczone

odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

Szukamy długości d. Najpierw szukamy współrzędnych punktu B. Proste z rysunku są prostopadłe.

$a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b$
$y=\frac{1}{2}x+b\\ 4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\\ 4=-\frac{3}{2}+b\\ b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań:

$\ \ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}/\cdot 4\end{cases}\\ \underline{+ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ 4y=2x+22\end{cases}} \\ 5y=24/:5 \\ y=4\frac{4}{5}\\ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 4\frac{4}{5}=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 2x=-2\frac{4}{5}=-\frac{14}{5}/:2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} x=-1\frac{2}{5}\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}$
$d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Sporządzamy więc odpowiedni rysunek.

Szukamy długości d. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu B.

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej o równaniu y=-2x+2 i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt A. Prostą tę oznaczamy następująco: y=ax+b. Musimy znaleźć współczynniki a i b

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Mamy więc:

$a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b$

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt A=(-3,4). Podstawiamy do równania prostej współrzędne tego punktu i rozwiązujemy równanie:

$y=\frac{1}{2}x+b\\ 4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\\ 4=-\frac{3}{2}+b\\ b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę przeciwnych współczynników:

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu B. Możemy już obliczyć odległość d=|AB|

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:

$z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: $A=(-3,4), B=(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5})$ . Korzystamy z powyższego wzoru:

$d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64+16}{25}}=\frac{\sqrt{80}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Odpowiedź

$d=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Zadania podobne

Zadanie - odległość punktów
Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktów
Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od figury
Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa $\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktów
Dane są punkty $A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)$ . Obliczyć odległość |AB|.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)
ilustracja do zadania 13 , matura 2016

W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania