Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - odległość punktu od prostej


Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

Szukamy długości d. Najpierw szukamy współrzędnych punktu B. Proste z rysunku są prostopadłe.

a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b
y=\frac{1}{2}x+b\\ 4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\\ 4=-\frac{3}{2}+b\\ b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań:

\ \ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}/\cdot 4\end{cases}\\ \underline{+ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ 4y=2x+22\end{cases}} \\ 5y=24/:5 \\ y=4\frac{4}{5}\\ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 4\frac{4}{5}=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 2x=-2\frac{4}{5}=-\frac{14}{5}/:2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} x=-1\frac{2}{5}\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}
d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Sporządzamy więc odpowiedni rysunek.

odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

Szukamy długości d. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu B.

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej o równaniu y=-2x+2 i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt A. Prostą tę oznaczamy następująco: y=ax+b. Musimy znaleźć współczynniki a i b

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

a_1=-\frac{1}{a_2}

Mamy więc:

a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt A=(-3,4). Podstawiamy do równania prostej współrzędne tego punktu i rozwiązujemy równanie:

y=\frac{1}{2}x+b\\ 4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\\ 4=-\frac{3}{2}+b\\ b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę przeciwnych współczynników:

\ \ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}/\cdot 4\end{cases}\\ \underline{+ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ 4y=2x+22\end{cases}} \\ 5y=24/:5 \\ y=4\frac{4}{5}\\ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 4\frac{4}{5}=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 2x=-2\frac{4}{5}=-\frac{14}{5}/:2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} x=-1\frac{2}{5}\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu B. Możemy już obliczyć odległość d=|AB|

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) w układzie współrzędnych:

z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: A=(-3,4), B=(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5}). Korzystamy z powyższego wzoru:

d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64+16}{25}}=\frac{\sqrt{80}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}

ksiązki Odpowiedź

d=\frac{4\sqrt{5}}{5}

© medianauka.pl, 2010-12-30, ZAD-1064


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.