Zadanie - odległość punktu od prostej

Rozwiązanie zadania uproszczone

Szukamy długości d. Najpierw szukamy współrzędnych punktu B. Proste z rysunku są prostopadłe.


Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań:


Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Sporządzamy więc odpowiedni rysunek.

Szukamy długości d. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu B.
Punkt B jest punktem przecięcia się prostej o równaniu y=-2x+2 i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt A. Prostą tę oznaczamy następująco: y=ax+b. Musimy znaleźć współczynniki a i b
Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

Mamy więc:

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt A=(-3,4). Podstawiamy do równania prostej współrzędne tego punktu i rozwiązujemy równanie:

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę przeciwnych współczynników:

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu B. Możemy już obliczyć odległość d=|AB|
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: . Korzystamy z powyższego wzoru:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-12-30, ZAD-1064
Zadania podobne

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5
Pokaż rozwiązanie zadania

Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu (x-3)2+(y-3)2=4
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są punkty

Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.
Pokaż rozwiązanie zadania


A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A.

B.

C.

D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Punkt A=(7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2+y2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania