Nauka » Matematyka » Odległość punktu od figury

Zadanie - odległość punktu od prostej

Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu

Rozwiązanie zadania uproszczone

odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

Szukamy długości d. Najpierw szukamy współrzędnych punktu B. Proste z rysunku są prostopadłe.

$a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b$
$y=\frac{1}{2}x+b\\ 4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\\ 4=-\frac{3}{2}+b\\ b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań:

$\ \ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}/\cdot 4\end{cases}\\ \underline{+ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ 4y=2x+22\end{cases}} \\ 5y=24/:5 \\ y=4\frac{4}{5}\\ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 4\frac{4}{5}=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 2x=-2\frac{4}{5}=-\frac{14}{5}/:2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} x=-1\frac{2}{5}\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}$
$d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Sporządzamy więc odpowiedni rysunek.

Szukamy długości d. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu B.

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej o równaniu y=-2x+2 i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt A. Prostą tę oznaczamy następująco: y=ax+b. Musimy znaleźć współczynniki a i b

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Mamy więc:

$a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b$

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt A=(-3,4). Podstawiamy do równania prostej współrzędne tego punktu i rozwiązujemy równanie:

$y=\frac{1}{2}x+b\\ 4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\\ 4=-\frac{3}{2}+b\\ b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę przeciwnych współczynników:

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu B. Możemy już obliczyć odległość d=|AB|

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:

$z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: $A=(-3,4), B=(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5})$ . Korzystamy z powyższego wzoru:

$d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64+16}{25}}=\frac{\sqrt{80}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$