Logo Media Nauka

Zadanie - odległość punktu od prostej

Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

Szukamy długości d. Najpierw szukamy współrzędnych punktu B. Proste z rysunku są prostopadłe.

a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b
y=\frac{1}{2}x+b\\ 4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\\ 4=-\frac{3}{2}+b\\ b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań:

\ \ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}/\cdot 4\end{cases}\\ \underline{+ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ 4y=2x+22\end{cases}} \\ 5y=24/:5 \\ y=4\frac{4}{5}\\ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 4\frac{4}{5}=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 2x=-2\frac{4}{5}=-\frac{14}{5}/:2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} x=-1\frac{2}{5}\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}
d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Sporządzamy więc odpowiedni rysunek.

odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu y=-2x+2

Szukamy długości d. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu B.

Punkt B jest punktem przecięcia się prostej o równaniu y=-2x+2 i prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt A. Prostą tę oznaczamy następująco: y=ax+b. Musimy znaleźć współczynniki a i b

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

a_1=-\frac{1}{a_2}

Mamy więc:

a=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+b

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt A=(-3,4). Podstawiamy do równania prostej współrzędne tego punktu i rozwiązujemy równanie:

y=\frac{1}{2}x+b\\ 4=\frac{1}{2}\cdot (-3)+b\\ 4=-\frac{3}{2}+b\\ b=5\frac{1}{2}=\frac{11}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}

Aby znaleźć współrzędne punktu B musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę przeciwnych współczynników:

\ \ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}/\cdot 4\end{cases}\\ \underline{+ \ \ \ \begin{cases} y=-2x+2\\ 4y=2x+22\end{cases}} \\ 5y=24/:5 \\ y=4\frac{4}{5}\\ \begin{cases} y=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 4\frac{4}{5}=-2x+2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} 2x=-2\frac{4}{5}=-\frac{14}{5}/:2\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}\\ \begin{cases} x=-1\frac{2}{5}\\ y=4\frac{4}{5}\end{cases}

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktu B. Możemy już obliczyć odległość d=|AB|

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) w układzie współrzędnych:

z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: A=(-3,4), B=(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5}). Korzystamy z powyższego wzoru:

d=\sqrt{(-\frac{7}{5}+3)^2+(\frac{24}{5}-4)^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64+16}{25}}=\frac{\sqrt{80}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}

ksiązki Odpowiedź

d=\frac{4\sqrt{5}}{5}

© medianauka.pl, 2010-12-30, ZAD-1064



Zadania podobne

kulkaZadanie - odległość punktów
Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - odległość punktów
Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu (x-3)^2+(y-2)^2=4

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - odległość punktu od figury
Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - odległość punktu od prostej
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa \sqrt{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - odległość punktów
Dane są punkty A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1). Obliczyć odległość |AB|.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - odległość punktu od prostej
Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom podstawowy)
ilustracja do zadania 13 , matura 2016W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

A. a
B. b
C. c
D. d


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.