Zadanie - odległość punktu od prostej

Rozwiązanie zadania uproszczone

Prosta przechodząca przez P1 : y=a1x+b1
Prosta przechodząca przez punkt P2 : y=a2x+b2
Prosta wyznaczona przez punkty P1 i P2 : y=a3x+b3
1) Szukamy równania prostej y=a3x+b3
Szukana prosta jest prostopadła do prostej y=3x+2 i przechodzi przez punkt P=(0,2). Mamy więc:

2) Szukamy równań szukanych prostych.
Współczynniki kierunkowe szukanych prostych są takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe.



Przez punkt P2 przechodzi prosta .



Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Punkty równoodległe od prostej będą się układały w prostą równoległą do danej prostej (proste nie mogą mieć punktów wspólnych, gdyż odległość dowolnego punktu szukanej prostej od danej prostej jest zawsze taka sama). Ilustruje to poniższy rysunek.

Z rysunku widać, że powyższy warunek będą spełniać dwie proste (zaznaczone przerywaną różową linią). Szukamy równań tych prostych. W tym celu obieramy dowolny punkt P na danej prostej y=3x+2. W naszym przypadku niech to będzie punkt o współrzędnych (0,2). Punkt ten spełnia równanie prostej (2=3·0+2). Kreślimy prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącej przez punkt P i wyznaczamy obrazy tego punktu w rzucie prostokątnym na szukane proste. Otrzymujemy w ten sposób punktu P1 i P2. Odległość d zaznaczona na rysunku jest dana i wynosi
Oznaczenia:
Prosta szukana, przechodząca przez punkt P1 (kolor różowy) - y=a1x+b1Prosta szukana, przechodząca przez punkt P2 (kolor różowy) - y=a2x+b2
Prosta wyznaczona przez punkty P, P1 i P2 (kolor szary) - y=a3x+b3
1) Szukamy równania prostej y=a3x+b3
Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

Szukana prosta jest prostopadła do prostej y=3x+2. Mamy więc:

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt P=(0,2). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:

2) Szukamy równań szukanych prostych.
Współczynniki kierunkowe szukanych prostych będą takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe. Szukane proste przyjmują więc równania:

Musimy wyznaczyć więc wyrazy b1 oraz b2. Aby to uczynić, wystarczy znaleźć współrzędne dowolnego punktu prostej. Poszukamy współrzędnych punktu P2.
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: . Korzystamy z powyższego wzoru:

Wiemy, że przez punkt P2 przechodzi prosta . Wstawiamy ją więc do wyznaczonego wcześniej równania, aby znaleźć współrzędne punktu P2.



Rozwiązując powyższy układ równań otrzymaliśmy współrzędne punktu P1:

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:







oraz współrzędne punktu P2:

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

Odpowiedź



© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1066
Zadania podobne

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5
Pokaż rozwiązanie zadania

Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu (x-3)2+(y-3)2=4
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)
Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są punkty

Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.
Pokaż rozwiązanie zadania


A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A.

B.

C.

D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Punkt A=(7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2+y2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania