Zadanie - odległość punktu od prostej

Rozwiązanie zadania

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Punkty równoodległe od prostej będą się układały w prostą równoległą do danej prostej (proste nie mogą mieć punktów wspólnych, gdyż odległość dowolnego punktu szukanej prostej od danej prostej jest zawsze taka sama). Ilustruje to poniższy rysunek.

Z rysunku widać, że powyższy warunek będą spełniać dwie proste (zaznaczone przerywaną różową linią). Szukamy równań tych prostych. W tym celu obieramy dowolny punkt P na danej prostej \(y=3x+2\). W naszym przypadku niech to będzie punkt o współrzędnych \((0,2)\). Punkt ten spełnia równanie prostej (2=3·0+2). Kreślimy prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącej przez punkt \(P\) i wyznaczamy obrazy tego punktu w rzucie prostokątnym na szukane proste. Otrzymujemy w ten sposób punktu \(P_1\)i P_2\). Odległość d zaznaczona na rysunku jest dana i wynosi \(\sqrt{2}\)

Oznaczenia:

1) Szukamy równania prostej \(y=a_3x+b_3\)

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

Szukana prosta jest prostopadła do prostej \(y=3x+2\). Mamy więc:

\(a_3=-\frac{1}{3}\)

\(y=-\frac{1}{3}x+b_3\)

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt \(P=(0,2)\). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:

\(2=-\frac{1}{3}\cdot 0+b_3\)

\(b_3=2\)

\(y=-\frac{1}{3}x+2\)

2) Szukamy równań szukanych prostych.

Współczynniki kierunkowe szukanych prostych będą takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe. Szukane proste przyjmują więc równania:

\(y=3x+b_1\)

\(y=3x+b_2\)

Musimy wyznaczyć więc wyrazy \(b_1\)oraz \(b_2\). Aby to uczynić, wystarczy znaleźć współrzędne dowolnego punktu prostej. Poszukamy współrzędnych punktu \(P_2\).

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych:

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych:\(P=(0,2), P_1=(x, y)\). Korzystamy z powyższego wzoru:

\(|PP_1|=\sqrt{2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\)

\(\sqrt{2}=\sqrt{x^2+(y-2)^2}\)

\(2=x^2+(y-2)^2\)

Wiemy, że przez punkt \(P_2\)przechodzi prosta \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Wstawiamy ją więc do wyznaczonego wcześniej równania, aby znaleźć współrzędne punktu \(P_2\).

\(\begin{cases}2=x^2+(y-2)^2\\ y=-\frac{1}{3}x+2 \end{cases}\)

\(2=x^2+(-\frac{1}{3}x+2-2)^2\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x)^2\)

\(2=x^2+\frac{1}{9}x^2\)

\(\frac{10}{9}x^2-2=0/\cdot \frac{9}{10}\)

\(x^2-\frac{9}{5}=0\)

\((x-\sqrt{\frac{9}{5}})(x+\sqrt{\frac{9}{5}})=0\)

\((x-\frac{3}{\sqrt{5}})(x+\frac{3}{\sqrt{5}})=0\)

\((x-\frac{3\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})(x+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})=0\)

\((x-\frac{3\sqrt{5}}{5})(x+\frac{3\sqrt{5}}{5})=0\)

\(x_1=\frac{3\sqrt{5}}{5} \ \vee \ x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\\ y_1=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+2=-\frac{\sqrt{5}}{5}+2\)

\(y_2=-\frac{1}{3}\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+2=\frac{\sqrt{5}}{5}+2\) />

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymaliśmy współrzędne punktu \(P_1\):

\(P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\)

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

\(y=3x+b_1\)

\(P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\)

\(2+\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+b1\)

\(b_1=2+\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{9\sqrt{5}}{5}\)

\(b_1=2+2\sqrt{5}\)

\(y=3x+2+2\sqrt{5}\)

oraz współrzędne punktu \(P_2\):

\(P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\)

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

\(y=3x+b_2\)

\(P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\)

\(2-\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+b2\)

\(b_2=2-2\sqrt{5}\)

\(y=3x+2-2\sqrt{5}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1066

Zadania podobne

Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).

Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).

Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).

Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).

Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).

Oblicz odległość punktu \(P=(-1,1)\) od prostej \(y=2x-1\).

W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.