Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - odległość punktu od prostej


Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa \sqrt{2}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa \sqrt{2}Oznaczenia:
Prosta przechodząca przez P1 : y=a1x+b1
Prosta przechodząca przez punkt P2 : y=a2x+b2
Prosta wyznaczona przez punkty P1 i P2 : y=a3x+b3

1) Szukamy równania prostej y=a3x+b3

Szukana prosta jest prostopadła do prostej y=3x+2 i przechodzi przez punkt P=(0,2). Mamy więc:

2=-\frac{1}{3}\cdot 0+b_3\\ b_3=2\\ y=-\frac{1}{3}x+2

2) Szukamy równań szukanych prostych.

Współczynniki kierunkowe szukanych prostych są takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe.

y=3x+b_1\\ y=3x+b_2
P=(0,2), P_1=(x, y)
|PP_1|=\sqrt{2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\\ 2=x^2+(y-2)^2

Przez punkt P2 przechodzi prosta y=-\frac{1}{3}x+2.

\begin{cases}2=x^2+(y-2)^2\\ y=-\frac{1}{3}x+2 \end{cases}\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x+2-2)^2\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x)^2\\2=x^2+\frac{1}{9}x^2\\ \frac{10}{9}x^2-2=0/\cdot \frac{9}{10}\\ x^2-\frac{9}{5}=0\\ (x-\frac{3\sqrt{5}}{5})(x+\frac{3\sqrt{5}}{5})=0\\ x_1=\frac{3\sqrt{5}}{5} \ \vee \ x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\ \\ y_1=-\frac{\sqrt{5}}{5}+2\ \vee \ y_2=\frac{\sqrt{5}}{5}+2

y=3x+b_1\\ P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\\ 2+\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+b1\\ b_1=2+\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{9\sqrt{5}}{5}\\ b_1=2+2\sqrt{5}\\ \underline{y=3x+2+2\sqrt{5}}

y=3x+b_2\\ P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\\ 2-\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+b2\\ b_2=2-2\sqrt{5}\\ \underline{y=3x+2-2\sqrt{5}}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Punkty równoodległe od prostej będą się układały w prostą równoległą do danej prostej (proste nie mogą mieć punktów wspólnych, gdyż odległość dowolnego punktu szukanej prostej od danej prostej jest zawsze taka sama). Ilustruje to poniższy rysunek.

współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa \sqrt{2}

Z rysunku widać, że powyższy warunek będą spełniać dwie proste (zaznaczone przerywaną różową linią). Szukamy równań tych prostych. W tym celu obieramy dowolny punkt P na danej prostej y=3x+2. W naszym przypadku niech to będzie punkt o współrzędnych (0,2). Punkt ten spełnia równanie prostej (2=3·0+2). Kreślimy prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącej przez punkt P i wyznaczamy obrazy tego punktu w rzucie prostokątnym na szukane proste. Otrzymujemy w ten sposób punktu P1 i P2. Odległość d zaznaczona na rysunku jest dana i wynosi \sqrt{2}

Oznaczenia:

Prosta szukana, przechodząca przez punkt P1 (kolor różowy) - y=a1x+b1
Prosta szukana, przechodząca przez punkt P2 (kolor różowy) - y=a2x+b2
Prosta wyznaczona przez punkty P, P1 i P2 (kolor szary) - y=a3x+b3

1) Szukamy równania prostej y=a3x+b3

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

a_I=-\frac{1}{a_{II}}

Szukana prosta jest prostopadła do prostej y=3x+2. Mamy więc:

a_3=-\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}x+b_3

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt P=(0,2). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:

2=-\frac{1}{3}\cdot 0+b_3\\ b_3=2\\ y=-\frac{1}{3}x+2

2) Szukamy równań szukanych prostych.

Współczynniki kierunkowe szukanych prostych będą takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe. Szukane proste przyjmują więc równania:

y=3x+b_1\\ y=3x+b_2

Musimy wyznaczyć więc wyrazy b1 oraz b2. Aby to uczynić, wystarczy znaleźć współrzędne dowolnego punktu prostej. Poszukamy współrzędnych punktu P2.

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) w układzie współrzędnych:

|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: P=(0,2), P_1=(x, y). Korzystamy z powyższego wzoru:

|PP_1|=\sqrt{2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\\ \sqrt{2}=\sqrt{x^2+(y-2)^2}\\ 2=x^2+(y-2)^2

Wiemy, że przez punkt P2 przechodzi prosta y=-\frac{1}{3}x+2. Wstawiamy ją więc do wyznaczonego wcześniej równania, aby znaleźć współrzędne punktu P2.

\begin{cases}2=x^2+(y-2)^2\\ y=-\frac{1}{3}x+2 \end{cases}\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x+2-2)^2\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x)^2\\2=x^2+\frac{1}{9}x^2\\ \frac{10}{9}x^2-2=0/\cdot \frac{9}{10}\\ x^2-\frac{9}{5}=0\\ (x-\sqrt{\frac{9}{5}})(x+\sqrt{\frac{9}{5}})=0\\ (x-\frac{3}{\sqrt{5}})(x+\frac{3}{\sqrt{5}})=0\\ (x-\frac{3\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})(x+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})=0\\ (x-\frac{3\sqrt{5}}{5})(x+\frac{3\sqrt{5}}{5})=0\\ x_1=\frac{3\sqrt{5}}{5} \ \vee \ x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\\ y_1=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+2=-\frac{\sqrt{5}}{5}+2\\ y_2=-\frac{1}{3}\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+2=\frac{\sqrt{5}}{5}+2 tło tło

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymaliśmy współrzędne punktu P1:

P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

y=3x+b_1\\ P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\\ 2+\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+b1\\ b_1=2+\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{9\sqrt{5}}{5}\\ b_1=2+2\sqrt{5}\\ y=3x+2+2\sqrt{5} tło tło tło tło tło tło

oraz współrzędne punktu P2:

P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

y=3x+b_2\\ P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\\ 2-\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+b2\\ b_2=2-2\sqrt{5}\\ y=3x+2-2\sqrt{5}

ksiązki Odpowiedź

Współrzędne punktów, które są odległe od prostej y=3x+2 o \sqrt{2} są następujące: (x, 3x+2-2\sqrt{5}) oraz (x, 3x+2+2\sqrt{5})

© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1066





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.