Nauka » Matematyka » Odległość punktu od figury

Zadanie - odległość punktu od prostej

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa $\sqrt{2}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa \sqrt{2}$ Oznaczenia:
Prosta przechodząca przez P₁ : y=a₁x+b₁
Prosta przechodząca przez punkt P₂ : y=a₂x+b₂
Prosta wyznaczona przez punkty P₁ i P₂ : y=a₃x+b₃

1) Szukamy równania prostej y=a₃x+b₃

Szukana prosta jest prostopadła do prostej y=3x+2 i przechodzi przez punkt P=(0,2). Mamy więc:

$2=-\frac{1}{3}\cdot 0+b_3\\ b_3=2\\ y=-\frac{1}{3}x+2$

2) Szukamy równań szukanych prostych.

Współczynniki kierunkowe szukanych prostych są takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe.

$y=3x+b_1\\ y=3x+b_2$

$|PP_1|=\sqrt{2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\\ 2=x^2+(y-2)^2$

Przez punkt P₂ przechodzi prosta $y=-\frac{1}{3}x+2$ .

$\begin{cases}2=x^2+(y-2)^2\\ y=-\frac{1}{3}x+2 \end{cases}\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x+2-2)^2\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x)^2\\2=x^2+\frac{1}{9}x^2\\ \frac{10}{9}x^2-2=0/\cdot \frac{9}{10}\\ x^2-\frac{9}{5}=0\\ (x-\frac{3\sqrt{5}}{5})(x+\frac{3\sqrt{5}}{5})=0\\ x_1=\frac{3\sqrt{5}}{5} \ \vee \ x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\ \\ y_1=-\frac{\sqrt{5}}{5}+2\ \vee \ y_2=\frac{\sqrt{5}}{5}+2$

$y=3x+b_1\\ P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\\ 2+\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+b1\\ b_1=2+\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{9\sqrt{5}}{5}\\ b_1=2+2\sqrt{5}\\ \underline{y=3x+2+2\sqrt{5}}$

$y=3x+b_2\\ P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\\ 2-\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+b2\\ b_2=2-2\sqrt{5}\\ \underline{y=3x+2-2\sqrt{5}}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Punkty równoodległe od prostej będą się układały w prostą równoległą do danej prostej (proste nie mogą mieć punktów wspólnych, gdyż odległość dowolnego punktu szukanej prostej od danej prostej jest zawsze taka sama). Ilustruje to poniższy rysunek.

$współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa \sqrt{2}$

Z rysunku widać, że powyższy warunek będą spełniać dwie proste (zaznaczone przerywaną różową linią). Szukamy równań tych prostych. W tym celu obieramy dowolny punkt P na danej prostej y=3x+2. W naszym przypadku niech to będzie punkt o współrzędnych (0,2). Punkt ten spełnia równanie prostej (2=3·0+2). Kreślimy prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącej przez punkt P i wyznaczamy obrazy tego punktu w rzucie prostokątnym na szukane proste. Otrzymujemy w ten sposób punktu P₁ i P₂. Odległość d zaznaczona na rysunku jest dana i wynosi $\sqrt{2}$

Oznaczenia:

Prosta szukana, przechodząca przez punkt P₁ (kolor różowy) - y=a₁x+b₁
Prosta szukana, przechodząca przez punkt P₂ (kolor różowy) - y=a₂x+b₂
Prosta wyznaczona przez punkty P, P₁ i P₂ (kolor szary) - y=a₃x+b₃

1) Szukamy równania prostej y=a₃x+b₃

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

$a_I=-\frac{1}{a_{II}}$

Szukana prosta jest prostopadła do prostej y=3x+2. Mamy więc:

$a_3=-\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}x+b_3$

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt P=(0,2). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:

$2=-\frac{1}{3}\cdot 0+b_3\\ b_3=2\\ y=-\frac{1}{3}x+2$

2) Szukamy równań szukanych prostych.

Współczynniki kierunkowe szukanych prostych będą takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe. Szukane proste przyjmują więc równania:

$y=3x+b_1\\ y=3x+b_2$

Musimy wyznaczyć więc wyrazy b₁ oraz b₂. Aby to uczynić, wystarczy znaleźć współrzędne dowolnego punktu prostej. Poszukamy współrzędnych punktu P₂.

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:

$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: . Korzystamy z powyższego wzoru:

$|PP_1|=\sqrt{2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\\ \sqrt{2}=\sqrt{x^2+(y-2)^2}\\ 2=x^2+(y-2)^2$

Wiemy, że przez punkt P₂ przechodzi prosta $y=-\frac{1}{3}x+2$ . Wstawiamy ją więc do wyznaczonego wcześniej równania, aby znaleźć współrzędne punktu P₂.

$\begin{cases}2=x^2+(y-2)^2\\ y=-\frac{1}{3}x+2 \end{cases}\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x+2-2)^2\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x)^2\\2=x^2+\frac{1}{9}x^2\\ \frac{10}{9}x^2-2=0/\cdot \frac{9}{10}\\ x^2-\frac{9}{5}=0\\ (x-\sqrt{\frac{9}{5}})(x+\sqrt{\frac{9}{5}})=0\\ (x-\frac{3}{\sqrt{5}})(x+\frac{3}{\sqrt{5}})=0\\ (x-\frac{3\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})(x+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})=0\\ (x-\frac{3\sqrt{5}}{5})(x+\frac{3\sqrt{5}}{5})=0\\ x_1=\frac{3\sqrt{5}}{5} \ \vee \ x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\\ y_1=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+2=-\frac{\sqrt{5}}{5}+2\\ y_2=-\frac{1}{3}\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+2=\frac{\sqrt{5}}{5}+2$ tło

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymaliśmy współrzędne punktu P₁:

$P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})$

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

$y=3x+b_1\\ P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\\ 2+\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+b1\\ b_1=2+\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{9\sqrt{5}}{5}\\ b_1=2+2\sqrt{5}\\ y=3x+2+2\sqrt{5}$ tło

oraz współrzędne punktu P₂:

$P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})$

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

$y=3x+b_2\\ P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\\ 2-\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+b2\\ b_2=2-2\sqrt{5}\\ y=3x+2-2\sqrt{5}$