Strona główna » Matematyka » Odległość punktu od figury

Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu

Rozwiązanie zadania uproszczone

Metoda 1

$\begin{cases} (x-3)^2+(y-3)^2=4\\ y=x\end{cases}\\ \begin{cases} (x-3)^2+(x-3)^2=4\\ y=x\end{cases}\\ \begin{cases} 2(x-3)^2=4/:2\\ y=x\end{cases}\\ \begin{cases} x^2-6x+7=0\\ y=x\end{cases}$
$x^2-6x+7=0\\ \Delta=8\\ x_1=3-\sqrt{2}\approx 1,59\\ x_2=3+\sqrt{2}\approx 4,41$

Otrzymujemy dwa układy równań:

$\begin{cases} x_1=3-\sqrt{2}\\ y_1=3-\sqrt{2}\end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x_2=3+\sqrt{2}\\ y_2=3+\sqrt{2} \end{cases}$

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktów przecięcia prostej z okręgiem: $(3-\sqrt{2},3-\sqrt{2})$ oraz $(3+\sqrt{2},3+\sqrt{2})$

Pierwszy z punktów, to punkt A uwidoczniony na rysunku.

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: $(0,0), (3-\sqrt{2}, 3-\sqrt{2})$ .

$z=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2+(3-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2(3-\sqrt{2})}=\sqrt{2}(3-\sqrt{2})=3\sqrt{2}-2$

Metoda 2

$z=|OP|-r\\ z=\sqrt{3^2+3^2}-2=3\sqrt{2}-2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Równanie okręgu wyraża się wzorem:

gdzie O(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r.

Zgodnie z powyższym równaniem okręgu mamy tutaj do czynienia z okręgiem o środku w punkcie O(3,3) i promieniem r=2.

Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury. Na wspólnym rysunku zaznaczamy nasz okrąg oraz otoczenie środka układu współrzędnych spełniające powyższy warunek.

Metoda 1

Przytoczona tutaj metoda rozwiązania jest bardziej skomplikowana od metody drugiej, pokazuje jednak, w jaki sposób sobie radzić przy wyznaczaniu odległości punktu od dowolnej figury.

Szukamy długości promienia otoczenia, oznaczonego na rysunku literą z. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu A. Zauważamy, że punkt A leży na prostej, łączącej początek układu współrzędnych oraz środek okręgu O(3,3). Prosta ta ma równanie y=x.

Jeżeli nie wiesz dlaczego prosta ta ta takie równanie poniżej znajduje się wyjaśnienie:

Ogólne równanie prostej jest następujące: y=ax+b. Wiemy, że prosta przechodzi przez punkty (0,0) oraz (3,3). Podstawiamy do równania prostej współrzędne jednego punktu oraz drugiego i rozwiązujemy układ równań:

$\begin{cases} 0=a\cdot 0+b\\ 3=a\cdot 3+b\end{cases}\\ \begin{cases} b=0\\ 3=3a/:3\end{cases} \\ \begin{cases} b=0\\ a=1 \end{cases}$

Zatem y=x

Punkt A jest wspólny dla prostej y=x oraz naszego okręgu. Aby znaleźć współrzędne punktów wspólnych obu figur musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę podstawienia:

$\begin{cases} (x-3)^2+(y-3)^2=4\\ y=x\end{cases}\\ \begin{cases} (x-3)^2+(x-3)^2=4\\ y=x\end{cases}\\ \begin{cases} 2(x-3)^2=4/:2\\ y=x\end{cases}\\ \begin{cases} (x-3)^2=2\\ y=x\end{cases}\\ \begin{cases} x^2-6x+9-2=0\\ y=x\end{cases}\\ \begin{cases} x^2-6x+7=0\\ y=x\end{cases}$ tło

Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym. Obliczmy więc wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki:

$x^2-6x+7=0\\ a=1\\ b=-6\\ c=7\\ \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 7=36-28=8\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)-2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{2}=3-\sqrt{2}\approx 1,59\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)+2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3+\sqrt{2})}{2}=3+\sqrt{2}\approx 4,41$

Wracamy do naszego układu równań. Równanie ma dwa rozwiązania, więc otrzymujemy dwa układy równań:

$\begin{cases} x_1=3-\sqrt{2}\\ y_1=x_1\end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x_2=3+\sqrt{2}\\ y_2=x_2 \end{cases}\\ \begin{cases} x_1=3-\sqrt{2}\\ y_1=3-\sqrt{2}\end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x_2=3+\sqrt{2}\\ y_2=3+\sqrt{2} \end{cases}$

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktów przecięcia prostej z okręgiem: $(3-\sqrt{2},3-\sqrt{2})$ oraz $(3+\sqrt{2},3+\sqrt{2})$

Pierwszy z punktów, to punkt A uwidoczniony na rysunku. Drugi z punktów (po drugiej stronie okręgu) nas nie interesuje. Musimy więc obliczyć odległość miedzy początkiem układu współrzędnych i punktem A. Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych: