Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu
Rozwiązanie zadania uproszczone

Metoda 1


Otrzymujemy dwa układy równań:

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktów przecięcia prostej z okręgiem: oraz
Pierwszy z punktów, to punkt A uwidoczniony na rysunku.
Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: .

Metoda 2

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Równanie okręgu wyraża się wzorem:

gdzie O(p,q) jest środkiem okręgu o promieniu r.
Zgodnie z powyższym równaniem okręgu mamy tutaj do czynienia z okręgiem o środku w punkcie O(3,3) i promieniem r=2.

Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury. Na wspólnym rysunku zaznaczamy nasz okrąg oraz otoczenie środka układu współrzędnych spełniające powyższy warunek.

Metoda 1
Przytoczona tutaj metoda rozwiązania jest bardziej skomplikowana od metody drugiej, pokazuje jednak, w jaki sposób sobie radzić przy wyznaczaniu odległości punktu od dowolnej figury.
Szukamy długości promienia otoczenia, oznaczonego na rysunku literą z. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu A. Zauważamy, że punkt A leży na prostej, łączącej początek układu współrzędnych oraz środek okręgu O(3,3). Prosta ta ma równanie y=x.
Jeżeli nie wiesz dlaczego prosta ta ta takie równanie poniżej znajduje się wyjaśnienie:
Ogólne równanie prostej jest następujące: y=ax+b. Wiemy, że prosta przechodzi przez punkty (0,0) oraz (3,3). Podstawiamy do równania prostej współrzędne jednego punktu oraz drugiego i rozwiązujemy układ równań:

Zatem y=x
Punkt A jest wspólny dla prostej y=x oraz naszego okręgu. Aby znaleźć współrzędne punktów wspólnych obu figur musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę podstawienia:



Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym. Obliczmy więc wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki:

Wracamy do naszego układu równań. Równanie ma dwa rozwiązania, więc otrzymujemy dwa układy równań:

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktów przecięcia prostej z okręgiem: oraz
Pierwszy z punktów, to punkt A uwidoczniony na rysunku. Drugi z punktów (po drugiej stronie okręgu) nas nie interesuje. Musimy więc obliczyć odległość miedzy początkiem układu współrzędnych i punktem A. Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych:

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: . Korzystamy z powyższego wzoru:

Metoda 2
Istnieje inny - łatwiejszy sposób rozwiązania tego zadania. Zauważamy, że:

Promień okręgu r=2, natomiast odległość początku układu współrzędnych od punktu O obliczymy na podstawie przytoczonego wyżej wzoru.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2010-12-30, ZAD-1063
Zadania podobne

Sprawdzić, czy istnieją takie punkty A, B i C, że
a) |AB|=10, |AC|=5, |BC|=5
b) |AB|=10, |AC|=4, |BC|=5
c) |AB|=10, |AC|=6, |BC|=5
Pokaż rozwiązanie zadania

Jaka jest odległość między różnymi punktami A, B, jeżeli |AC|=4, |BC|=5?
Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość punktu A=(-3,4) od prostej o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć odległość punktu M=(1,2) od trójkąta wyznaczonego przez punkty A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są punkty

Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz odległość punktu P=(3,2) od prostej 3x+4y-1=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz odległość punktu P=(-1,1) od prostej y=2x-1.
Pokaż rozwiązanie zadania


A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A.

B.

C.

D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Punkt A=(7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2+y2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie zadania