Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu
Treść zadania:
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).
Rozwiązanie zadania
Równanie okręgu wyraża się wzorem:
Zgodnie z powyższym równaniem okręgu mamy tutaj do czynienia z okręgiem o środku w punkcie \(O(3,3)\) i promieniem \(r=2\).
\((x-3)^2+(y-3)^2=4=2^2\)Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury. Na wspólnym rysunku zaznaczamy nasz okrąg oraz otoczenie środka układu współrzędnych spełniające powyższy warunek.
Metoda 1
Przytoczona tutaj metoda rozwiązania jest bardziej skomplikowana od metody drugiej, pokazuje jednak, w jaki sposób sobie radzić przy wyznaczaniu odległości punktu od dowolnej figury.
Szukamy długości promienia otoczenia, oznaczonego na rysunku literą z. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu A. Zauważamy, że punkt A leży na prostej, łączącej początek układu współrzędnych oraz środek okręgu \(O(3,3)\). Prosta ta ma równanie \(y=x\).
Jeżeli nie wiesz dlaczego prosta ta ta takie równanie poniżej znajduje się wyjaśnienie:
Ogólne równanie prostej jest następujące: \(y=ax+b\). Wiemy, że prosta przechodzi przez punkty \((0,0)\) oraz \((3,3)\). Podstawiamy do równania prostej współrzędne jednego punktu oraz drugiego i rozwiązujemy układ równań:
\(\begin{cases} 0=a\cdot 0+b\\ 3=a\cdot 3+b\end{cases}\)
\(\begin{cases} b=0\\ 3=3a/:3\end{cases} \)
\(\begin{cases} b=0\\ a=1 \end{cases}\)
Zatem \(y=x\)
Punkt A jest wspólny dla prostej \(y=x\) oraz naszego okręgu. Aby znaleźć współrzędne punktów wspólnych obu figur musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę podstawienia:
\(\begin{cases} (x-3)^2+(y-3)^2=4\\ y=x\end{cases}\)
\(\begin{cases} (x-3)^2+(x-3)^2=4\\ y=x\end{cases}\)
\(\begin{cases} 2(x-3)^2=4/:2\\ y=x\end{cases}\)
\(\begin{cases} (x-3)^2=2\\ y=x\end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2-6x+9-2=0\\ y=x\end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2-6x+7=0\\ y=x\end{cases}\)
Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym. Obliczmy więc wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki:
\(x^2-6x+7=0\)
\(a=1\)
\(b=-6\)
\(c=7\)
\(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 7=36-28=8\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)-2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{2}=3-\sqrt{2}\approx 1,59\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)+2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3+\sqrt{2})}{2}=3+\sqrt{2}\approx 4,41\)
Wracamy do naszego układu równań. Równanie ma dwa rozwiązania, więc otrzymujemy dwa układy równań:
\(\begin{cases} x_1=3-\sqrt{2}\\ y_1=x_1\end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x_2=3+\sqrt{2}\\ y_2=x_2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_1=3-\sqrt{2}\\ y_1=3-\sqrt{2}\end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x_2=3+\sqrt{2}\\ y_2=3+\sqrt{2} \end{cases}\)
Otrzymaliśmy więc współrzędne punktów przecięcia prostej z okręgiem: 
oraz 
Pierwszy z punktów, to punkt \(A\) uwidoczniony na rysunku. Drugi z punktów (po drugiej stronie okręgu) nas nie interesuje. Musimy więc obliczyć odległość miedzy początkiem układu współrzędnych i punktem A. Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych:
Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: \((0,0), (3-\sqrt{2}, 3-\sqrt{2})\). Korzystamy z powyższego wzoru:
\(z=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2+(3-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2(3-\sqrt{2})}=\sqrt{2}(3-\sqrt{2})=3\sqrt{2}-2\)
Metoda 2
Istnieje inny - łatwiejszy sposób rozwiązania tego zadania. Zauważamy, że:
\(z=|OP|-r\)
Promień okręgu \(r=2\), natomiast odległość początku układu współrzędnych od punktu O obliczymy na podstawie przytoczonego wyżej wzoru.
\(O=(3,3)\)
\(P=(0,0)\)
\(|OP|=\sqrt{(3-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{2\cdot 3^2}=3\sqrt{2}\)
\(z=3\sqrt{2}-2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-12-30, ZAD-1063
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?
Zadanie nr 2.
Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).
Zadanie nr 4.
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 5.
Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).
Zadanie nr 6.
Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału
A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)
B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)
C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)
D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.