Nauka » Matematyka » Odległość punktów Odcinek

Zadanie maturalne nr 10, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Punkt A=(7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x²+y²=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Rozwiązanie zadania

Zadanie to rozwiążemy analitycznie w kilku etapach.

Sporządźmy najpierw rysunek poglądowy.

Etap 1

Przez punkt A przechodzą proste m i n. Jak znaleźć ich równania? Możemy skorzystać z własności przesunięcia wykresu funkcji f(x)=ax (pęk prostych w środku układu współrzędnych) o wektor [7,-1] do punktu A.

Korzystamy ze wzoru

wykresu funkcji $y=f(x)$ przesuniętej w układzie współrzędnych o wektor $ \vec{v}=[p,q]$

$ y=a(x-7)-1$

$ y=ax-7a-1$

Otrzymaliśmy równanie prostych m i n w postaci kierunkowej, a w ogólnej Ax+By+C=0 mamy:

$ ax-y-7a-1=0$

Przy czym

$ A=a, B=-1, C=-7a-1$

Skorzystamy teraz z faktu, że punkt L leży na prostej m i jest oddalony od środka układu współrzędnych o długość promienia danego okręgu, którego promień wynosi $ r=\sqrt{10} $.

Wzór na odległość d prostej o równaniu ogólnym Ax+By+C=0 od punktu $P=(x_0,y_0)$ jest następujący:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

U nas P=(0,0), A, B i C wyliczyliśmy wcześniej, a d=r, więc:

$ \frac{|-7a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}$

$ (-7a-1)^2=10(a^2+1)$

$ 39a^2+14a+1=10a^2+10$

$ 39a^2+14a-9=0$

$ \Delta=196+4\cdot 9\cdot 39=1404+196=1600$

$ \sqrt{\Delta}=40$

$ a_1=\frac{-14-40}{78}=-\frac{9}{13}$

$ a_2=\frac{-14+40}{78}=\frac{1}{3}$

Mamy dwa współczynniki kierunkowe prostej, która przechodzi przez punkt A. Nie mamy współczynnika b. Zapiszmy postać kierunkową tych prostych y=ax+b i wyznaczmy b z tego równania mając dane x i y ze współrzędnych punktu A i wyliczone wartości współczynnika a.

1) Pierwsza prosta

$ -1=\frac{-9}{13}\cdot 7+b$

$ b=-1+\frac{63}{13}$

$ b=\frac{50}{13}$

2) Druga prosta

$ -1=\frac{1}{3}\cdot 7+b$

$ b=-1-\frac{7}{3}$

$ b=-\frac{10}{3}$

Otrzymaliśmy dwie proste (zawierające ramiona naszego trójkąta AB i AC) m i n o równaniach:

$m: y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}$

$n: y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$

Skąd wiadomo które równanie opisuje którą prostą? Można zauważyć, że równanie $y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}$ nie przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych (ma ujemny współczynnik kierunkowy i dodatni współczynnik b). Z warunków zadania wynika, że punkt C leży właśnie w III ćwiartce, a więc prosta ta nie może być prostą n.

Etap 2

Zauważmy, że symetralna boku AB jest prostopadła do m, przechodzi przez początek układu współrzędnych, a także przez punkt C (z uwagi na to, iż trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym).

Zatem prosta l przechodzi przez początek układu współrzędnych i ma współczynnik kierunkowy odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego prostej m. Zatem prosta l ma równanie:

$y=\frac{13}{9}x$

Punkt C leży na prostej l o danym równaniu i na prostej n o danym równaniu. Jego współrzędne x i y obliczymy poprzez rozwiązanie układu równań tych prostych:

$y=\begin{cases}\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}$

$\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}=\frac{13}{9}x/\cdot 9$

$3x-30-13x=0$

$x=-3$

$y=\frac{13}{9}\cdot (-3)=-\frac{13}{3}$

$C=(-3,-\frac{13}{3})$

Punkt L jest środkiem odcinka AB. Jeśli poznamy jego współrzędne i mając dane współrzędne punktu A, łatwo wyliczymy współrzędne punktu B. Jak znaleźć współrzędne punktu L? Punkt tej leży na prostej m i l. Rozwiążemy układ równań:

$y=\begin{cases}-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}$

$-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}=\frac{13}{9}x/\cdot 117$

$-81x+450=169x$

$250x=450$

$x=\frac{450}{250}=\frac{9}{5}$

$y=\frac{13}{9}\cdot \frac{9}{5}=\frac{13}{5}$

$L=(\frac{9}{5},\frac{13}{5})$

Jeżeli współrzędne punktu B oznaczymy przez

$B=(x_B,y_B)$,

to własności środka odcinka mamy:

$L=(\frac{7+x_B}{2}, \frac{-1+y_B}{2})$

czyli:

$ \frac{7+x_B}{2}=\frac{9}{5}$

$5(7+x_B)=18$

$35+5x_B=18$

$x_B=-\frac{17}{5}$

oraz

$ \frac{-1+y_B}{2}=\frac{13}{5}$

$-5+5y_B=26$

$y_B=\frac{31}{5}$

Mamy odpowiedź:

Odpowiedź

$C=(-3,-\frac{13}{3})$

$B=(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5})$

Zadania podobne

Zadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Długość odcinka
Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że $|\overline{AB}|=1$ i który leży na prostej $x=\frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach $A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)$ . Znaleźć współrzędne środka odcinka $\overline{AB}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty $A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka $\overline{AB}$ , gdzie $A=(1,4), \ B=(-2, 1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2019

Dane są punkty o współrzędnych A=(−2, 5) oraz B=(4, −1) . Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku AB jest równa

A. 12

B. 6

C. 6√2

D. 2√6

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.