Zadanie maturalne nr 10, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Punkt A=(7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2+y2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.
Rozwiązanie zadania
Zadanie to rozwiążemy analitycznie w kilku etapach.
Sporządźmy najpierw rysunek poglądowy.

Etap 1
Przez punkt A przechodzą proste m i n. Jak znaleźć ich równania? Możemy skorzystać z własności przesunięcia wykresu funkcji f(x)=ax (pęk prostych w środku układu współrzędnych) o wektor [7,-1] do punktu A.
Korzystamy ze wzoru
wykresu funkcji \(y=f(x)\) przesuniętej w układzie współrzędnych o wektor \( \vec{v}=[p,q]\)
\( y=a(x-7)-1\)
\( y=ax-7a-1\)
Otrzymaliśmy równanie prostych m i n w postaci kierunkowej, a w ogólnej Ax+By+C=0 mamy:
\( ax-y-7a-1=0\)
Przy czym
\( A=a, B=-1, C=-7a-1\)
Skorzystamy teraz z faktu, że punkt L leży na prostej m i jest oddalony od środka układu współrzędnych o długość promienia danego okręgu, którego promień wynosi \( r=\sqrt{10} \).
Wzór na odległość d prostej o równaniu ogólnym Ax+By+C=0 od punktu \(P=(x_0,y_0)\) jest następujący:
\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
U nas P=(0,0), A, B i C wyliczyliśmy wcześniej, a d=r, więc:
\( \frac{|-7a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\)
\( (-7a-1)^2=10(a^2+1)\)
\( 39a^2+14a+1=10a^2+10\)
\( 39a^2+14a-9=0\)
\( \Delta=196+4\cdot 9\cdot 39=1404+196=1600\)
\( \sqrt{\Delta}=40\)
\( a_1=\frac{-14-40}{78}=-\frac{9}{13}\)
\( a_2=\frac{-14+40}{78}=\frac{1}{3}\)
Mamy dwa współczynniki kierunkowe prostej, która przechodzi przez punkt A. Nie mamy współczynnika b. Zapiszmy postać kierunkową tych prostych y=ax+b i wyznaczmy b z tego równania mając dane x i y ze współrzędnych punktu A i wyliczone wartości współczynnika a.
1) Pierwsza prosta
\( -1=\frac{-9}{13}\cdot 7+b\)
\( b=-1+\frac{63}{13}\)
\( b=\frac{50}{13}\)
2) Druga prosta
\( -1=\frac{1}{3}\cdot 7+b\)
\( b=-1-\frac{7}{3}\)
\( b=-\frac{10}{3}\)
Otrzymaliśmy dwie proste (zawierające ramiona naszego trójkąta AB i AC) m i n o równaniach:
\(m: y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\)
\(n: y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\)
Skąd wiadomo które równanie opisuje którą prostą? Można zauważyć, że równanie \(y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\) nie przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych (ma ujemny współczynnik kierunkowy i dodatni współczynnik b). Z warunków zadania wynika, że punkt C leży właśnie w III ćwiartce, a więc prosta ta nie może być prostą n.
Etap 2
Zauważmy, że symetralna boku AB jest prostopadła do m, przechodzi przez początek układu współrzędnych, a także przez punkt C (z uwagi na to, iż trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym).
Zatem prosta l przechodzi przez początek układu współrzędnych i ma współczynnik kierunkowy odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego prostej m. Zatem prosta l ma równanie:
\(y=\frac{13}{9}x\)
Punkt C leży na prostej l o danym równaniu i na prostej n o danym równaniu. Jego współrzędne x i y obliczymy poprzez rozwiązanie układu równań tych prostych:
\(y=\begin{cases}\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}\)
\(\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}=\frac{13}{9}x/\cdot 9\)
\(3x-30-13x=0\)
\(x=-3\)
\(y=\frac{13}{9}\cdot (-3)=-\frac{13}{3}\)
\(C=(-3,-\frac{13}{3})\)
Punkt L jest środkiem odcinka AB. Jeśli poznamy jego współrzędne i mając dane współrzędne punktu A, łatwo wyliczymy współrzędne punktu B. Jak znaleźć współrzędne punktu L? Punkt tej leży na prostej m i l. Rozwiążemy układ równań:
\(y=\begin{cases}-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}\)
\(-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}=\frac{13}{9}x/\cdot 117\)
\(-81x+450=169x\)
\(250x=450\)
\(x=\frac{450}{250}=\frac{9}{5}\)
\(y=\frac{13}{9}\cdot \frac{9}{5}=\frac{13}{5}\)
\(L=(\frac{9}{5},\frac{13}{5})\)
Jeżeli współrzędne punktu B oznaczymy przez
\(B=(x_B,y_B)\),
to własności środka odcinka mamy:
\(L=(\frac{7+x_B}{2}, \frac{-1+y_B}{2})\)
czyli:
\( \frac{7+x_B}{2}=\frac{9}{5}\)
\(5(7+x_B)=18\)
\(35+5x_B=18\)
\(x_B=-\frac{17}{5}\)
oraz
\( \frac{-1+y_B}{2}=\frac{13}{5}\)
\(-5+5y_B=26\)
\(y_B=\frac{31}{5}\)
Mamy odpowiedź:
Odpowiedź
\(C=(-3,-\frac{13}{3})\)
\(B=(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5})\)
© medianauka.pl, 2023-01-15, ZAD-4644
Zadania podobne

Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że


Pokaż rozwiązanie zadania

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest odcinek o końcach


Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie symetralnej odcinka


Pokaż rozwiązanie zadania

W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:
A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2
Pokaż rozwiązanie zadania

Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.
Pokaż rozwiązanie zadania

Parabola o równaniu


Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Pokaż rozwiązanie zadania

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A.

B.

C.

D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są punkty o współrzędnych A=(−2, 5) oraz B=(4, −1) . Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku AB jest równa
A. 12
B. 6
C. 6√2
D. 2√6
Pokaż rozwiązanie zadania