Zadanie maturalne nr 10, matura 2018 (poziom rozszerzony)


Punkt A=(7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2+y2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zadanie to rozwiążemy analitycznie w kilku etapach.

Sporządźmy najpierw rysunek poglądowy.

Rysunek

Etap 1

Przez punkt A przechodzą proste m i n. Jak znaleźć ich równania? Możemy skorzystać z własności przesunięcia wykresu funkcji f(x)=ax (pęk prostych w środku układu współrzędnych) o wektor [7,-1] do punktu A.

Korzystamy ze wzoru

y=f(x-p)+q

wykresu funkcji \(y=f(x)\) przesuniętej w układzie współrzędnych o wektor \( \vec{v}=[p,q]\)

\( y=a(x-7)-1\)

\( y=ax-7a-1\)

Otrzymaliśmy równanie prostych m i n w postaci kierunkowej, a w ogólnej Ax+By+C=0 mamy:

\( ax-y-7a-1=0\)

Przy czym

\( A=a, B=-1, C=-7a-1\)

Skorzystamy teraz z faktu, że punkt L leży na prostej m i jest oddalony od środka układu współrzędnych o długość promienia danego okręgu, którego promień wynosi \( r=\sqrt{10} \).

Wzór na odległość d prostej o równaniu ogólnym Ax+By+C=0 od punktu \(P=(x_0,y_0)\) jest następujący:

\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

U nas P=(0,0), A, B i C wyliczyliśmy wcześniej, a d=r, więc:

\( \frac{|-7a-1|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\)

\( (-7a-1)^2=10(a^2+1)\)

\( 39a^2+14a+1=10a^2+10\)

\( 39a^2+14a-9=0\)

\( \Delta=196+4\cdot 9\cdot 39=1404+196=1600\)

\( \sqrt{\Delta}=40\)

\( a_1=\frac{-14-40}{78}=-\frac{9}{13}\)

\( a_2=\frac{-14+40}{78}=\frac{1}{3}\)

Mamy dwa współczynniki kierunkowe prostej, która przechodzi przez punkt A. Nie mamy współczynnika b. Zapiszmy postać kierunkową tych prostych y=ax+b i wyznaczmy b z tego równania mając dane x i y ze współrzędnych punktu A i wyliczone wartości współczynnika a.

1) Pierwsza prosta

\( -1=\frac{-9}{13}\cdot 7+b\)

\( b=-1+\frac{63}{13}\)

\( b=\frac{50}{13}\)

2) Druga prosta

\( -1=\frac{1}{3}\cdot 7+b\)

\( b=-1-\frac{7}{3}\)

\( b=-\frac{10}{3}\)

Otrzymaliśmy dwie proste (zawierające ramiona naszego trójkąta AB i AC) m i n o równaniach:

\(m: y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\)

\(n: y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\)

Skąd wiadomo które równanie opisuje którą prostą? Można zauważyć, że równanie \(y=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\) nie przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych (ma ujemny współczynnik kierunkowy i dodatni współczynnik b). Z warunków zadania wynika, że punkt C leży właśnie w III ćwiartce, a więc prosta ta nie może być prostą n.

Etap 2

Zauważmy, że symetralna boku AB jest prostopadła do m, przechodzi przez początek układu współrzędnych, a także przez punkt C (z uwagi na to, iż trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym).

Zatem prosta l przechodzi przez początek układu współrzędnych i ma współczynnik kierunkowy odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego prostej m. Zatem prosta l ma równanie:

\(y=\frac{13}{9}x\)

Punkt C leży na prostej l o danym równaniu i na prostej n o danym równaniu. Jego współrzędne x i y obliczymy poprzez rozwiązanie układu równań tych prostych:

\(y=\begin{cases}\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}\)

\(\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}=\frac{13}{9}x/\cdot 9\)

\(3x-30-13x=0\)

\(x=-3\)

\(y=\frac{13}{9}\cdot (-3)=-\frac{13}{3}\)

\(C=(-3,-\frac{13}{3})\)

Punkt L jest środkiem odcinka AB. Jeśli poznamy jego współrzędne i mając dane współrzędne punktu A, łatwo wyliczymy współrzędne punktu B. Jak znaleźć współrzędne punktu L? Punkt tej leży na prostej m i l. Rozwiążemy układ równań:

\(y=\begin{cases}-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\\ y=\frac{13}{9}x\end{cases}\)

\(-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}=\frac{13}{9}x/\cdot 117\)

\(-81x+450=169x\)

\(250x=450\)

\(x=\frac{450}{250}=\frac{9}{5}\)

\(y=\frac{13}{9}\cdot \frac{9}{5}=\frac{13}{5}\)

\(L=(\frac{9}{5},\frac{13}{5})\)

Jeżeli współrzędne punktu B oznaczymy przez

\(B=(x_B,y_B)\),

to własności środka odcinka mamy:

\(L=(\frac{7+x_B}{2}, \frac{-1+y_B}{2})\)

czyli:

\( \frac{7+x_B}{2}=\frac{9}{5}\)

\(5(7+x_B)=18\)

\(35+5x_B=18\)

\(x_B=-\frac{17}{5}\)

oraz

\( \frac{-1+y_B}{2}=\frac{13}{5}\)

\(-5+5y_B=26\)

\(y_B=\frac{31}{5}\)

Mamy odpowiedź:

ksiązki Odpowiedź

\(C=(-3,-\frac{13}{3})\)

\(B=(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5})\)


© medianauka.pl, 2023-01-15, ZAD-4644

Zadania podobne

kulkaZadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka wzór

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - Długość odcinka
Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że |\overline{AB}|=1 i który leży na prostej x=\frac{1}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4). Znaleźć współrzędne środka odcinka \overline{AB}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \overline{AB}, gdzie A=(1,4), \ B=(-2, 1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu y=2-\frac{1}{2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 20, matura 2019

Dane są punkty o współrzędnych A=(−2, 5) oraz B=(4, −1) . Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku AB jest równa

A. 12

B. 6

C. 6√2

D. 2√6



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.