Zadanie - Długość odcinka


Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że |\overline{AB}|=1 i który leży na prostej x=\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=(1,4), B=(\frac{1}{2},y)\\ |\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}
1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\\ 1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\\ 4=1+4y^2-32y+64\\ 4y^2-32y+61=0
\Delta=48\\ y_1=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{8+\sqrt{3}}{2}
B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka wyznaczonego przez dwa punkty A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) w układzie współrzędnych:

|\overline{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Korzystamy ze wzoru na odległość między punktami o współrzędnych: A=(1,4), B=(\frac{1}{2},y). Wykorzystaliśmy już fakt, ze punkt B leży na prostej x=\frac{1}{2}, dlatego napisaliśmy, że współrzędna x punktu B jest równa \sqrt{2}.

|\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}

Podnosimy obie strony równania do kwadratu.

1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\\ 1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\\ 4=1+4y^2-32y+64\\ 4y^2-32y+61=0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki równania:

4y^2-32y+61=0\\ a=4\\ b=-32\\ c=61\\ \Delta=b^2-4ac=(-32)^2-4\cdot 4\cdot 61=1024-976=48\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\\ y_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)-4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32-4\sqrt{3}}{8}=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)+4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32+4\sqrt{3}}{8}=\frac{8+\sqrt{3}}{2}

Istnieją więc dwa punkty, które spełniają warunki zadania.

ksiązki Odpowiedź

B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})

© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1068

Zadania podobne

kulkaZadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka wzór

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4). Znaleźć współrzędne środka odcinka \overline{AB}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \overline{AB}, gdzie A=(1,4), \ B=(-2, 1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu y=2-\frac{1}{2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 10, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Punkt A=(7,−1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2+y2=10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 20, matura 2019

Dane są punkty o współrzędnych A=(−2, 5) oraz B=(4, −1) . Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku AB jest równa

A. 12

B. 6

C. 6√2

D. 2√6



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 33, matura 2019

Dany jest punkt A = (−18,10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 20, matura 2020

Punkt B jest obrazem punktu A = (−3, 5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB jest równa

A. 2√34

B. 8

C. √34

D. 12



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.