Nauka » Matematyka » Odcinek

Zadanie - Długość odcinka

Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że $|\overline{AB}|=1$ i który leży na prostej $x=\frac{1}{2}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=(1,4), B=(\frac{1}{2},y)\\ |\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}$
$1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\\ 1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\\ 4=1+4y^2-32y+64\\ 4y^2-32y+61=0$
$\Delta=48\\ y_1=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{8+\sqrt{3}}{2}$
$B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka wyznaczonego przez dwa punkty w układzie współrzędnych:

$|\overline{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Korzystamy ze wzoru na odległość między punktami o współrzędnych: $A=(1,4), B=(\frac{1}{2},y)$ . Wykorzystaliśmy już fakt, ze punkt B leży na prostej $x=\frac{1}{2}$ , dlatego napisaliśmy, że współrzędna x punktu B jest równa $\sqrt{2}$ .

$|\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}$

Podnosimy obie strony równania do kwadratu.

$1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\\ 1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\\ 4=1+4y^2-32y+64\\ 4y^2-32y+61=0$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki równania:

$4y^2-32y+61=0\\ a=4\\ b=-32\\ c=61\\ \Delta=b^2-4ac=(-32)^2-4\cdot 4\cdot 61=1024-976=48\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\\ y_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)-4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32-4\sqrt{3}}{8}=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)+4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32+4\sqrt{3}}{8}=\frac{8+\sqrt{3}}{2}$

Istnieją więc dwa punkty, które spełniają warunki zadania.

Odpowiedź

$B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})$

Zadania podobne

Zadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach $A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)$ . Znaleźć współrzędne środka odcinka $\overline{AB}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty $A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka $\overline{AB}$ , gdzie $A=(1,4), \ B=(-2, 1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania