Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - Długość odcinka


Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że |\overline{AB}|=1 i który leży na prostej x=\frac{1}{2}


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=(1,4), B=(\frac{1}{2},y)\\ |\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}
1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\\ 1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\\ 4=1+4y^2-32y+64\\ 4y^2-32y+61=0
\Delta=48\\ y_1=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{8+\sqrt{3}}{2}
B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka wyznaczonego przez dwa punkty A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) w układzie współrzędnych:

|\overline{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Korzystamy ze wzoru na odległość między punktami o współrzędnych: A=(1,4), B=(\frac{1}{2},y). Wykorzystaliśmy już fakt, ze punkt B leży na prostej x=\frac{1}{2}, dlatego napisaliśmy, że współrzędna x punktu B jest równa \sqrt{2}.

|\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}

Podnosimy obie strony równania do kwadratu.

1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\\ 1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\\ 4=1+4y^2-32y+64\\ 4y^2-32y+61=0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki równania:

4y^2-32y+61=0\\ a=4\\ b=-32\\ c=61\\ \Delta=b^2-4ac=(-32)^2-4\cdot 4\cdot 61=1024-976=48\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\\ y_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)-4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32-4\sqrt{3}}{8}=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)+4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32+4\sqrt{3}}{8}=\frac{8+\sqrt{3}}{2}

Istnieją więc dwa punkty, które spełniają warunki zadania.

ksiązki Odpowiedź

B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})

© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1068

Zadania podobne

kulkaZadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka wzór


kulkaZadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)


kulkaZadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4). Znaleźć współrzędne środka odcinka \overline{AB}


kulkaZadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)


kulkaZadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \overline{AB}, gdzie A=(1,4), \ B=(-2, 1)


kulkaZadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2


kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.


kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu y=2-\frac{1}{2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.


kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4



Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.