logo

Zadanie - Długość odcinka


Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że |\overline{AB}|=1 i który leży na prostej x=\frac{1}{2}

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=(1,4), B=(\frac{1}{2},y)\\ |\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}
1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\\ 1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\\ 4=1+4y^2-32y+64\\ 4y^2-32y+61=0
\Delta=48\\ y_1=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{8+\sqrt{3}}{2}
B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka wyznaczonego przez dwa punkty A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B) w układzie współrzędnych:

|\overline{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Korzystamy ze wzoru na odległość między punktami o współrzędnych: A=(1,4), B=(\frac{1}{2},y). Wykorzystaliśmy już fakt, ze punkt B leży na prostej x=\frac{1}{2}, dlatego napisaliśmy, że współrzędna x punktu B jest równa \sqrt{2}.

|\overline{AB}|=1=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(y-4)^2}

Podnosimy obie strony równania do kwadratu.

1^2=(-\frac{1}{2})^2+(y-4)^2\\ 1=\frac{1}{4}+y^2-8y+16/\cdot 4\\ 4=1+4y^2-32y+64\\ 4y^2-32y+61=0

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki równania:

4y^2-32y+61=0\\ a=4\\ b=-32\\ c=61\\ \Delta=b^2-4ac=(-32)^2-4\cdot 4\cdot 61=1024-976=48\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\\ y_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)-4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32-4\sqrt{3}}{8}=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\\ y_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-32)+4\sqrt{3}}{2\cdot 4}=\frac{32+4\sqrt{3}}{8}=\frac{8+\sqrt{3}}{2}

Istnieją więc dwa punkty, które spełniają warunki zadania.

ksiązki Odpowiedź

B_1=(\frac{1}{2},\frac{8-\sqrt{3}}{2}),\ B_2=(\frac{1}{2},\frac{8+\sqrt{3}}{2})

© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1068

Zadania podobne

kulkaZadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka wzór

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4). Znaleźć współrzędne środka odcinka \overline{AB}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \overline{AB}, gdzie A=(1,4), \ B=(-2, 1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu y=2-\frac{1}{2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kubek matematyka pi
Kolorowe skarpetki Kostka
Algebra
Kolorowe skarpetki Miasto
Matematyka dla menedżerów
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.