Nauka » Matematyka » Odcinek Symetralna odcinka

Zadanie - symetralna odcinka

Znaleźć równanie symetralnej odcinka $\overline{AB}$ , gdzie $A=(1,4), \ B=(-2, 1)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$A=(1,4), B=(-2,1)\\ y=ax+b \\ \underline{- \ \ \ \begin{cases} 4=a+b \\ 1=-2a+b\end{cases}}\\ 3a=3/:3\\ a=1\\ b=3\\ y=x+3$
$a_s=-\frac{1}{1}=-1$
$A=(1,4), B=(-2,1)\\ x_s=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\\ y_s=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}\\ S=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$
$y=a_sx+b_s\\ y=-x+b_s\\ \frac{5}{2}=-(-\frac{1}{2})+b_s\\ b_s=2\\ y=-x+2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Symetralna odcinka dzieli go na dwie równe części i jest prostopadła do prostej zawierającej dany odcinek. Aby znaleźć równanie symetralnej, skorzystamy z obu tych własności.

Wyznaczymy najpierw równanie prostej wyznaczonej przez punkty A, B, wstawiając do równania kierunkowego prostej y=ax+b wartości współrzędnych tych punktów. Rozwiązanie układu równań pozwoli nam wyznaczyć współczynniki a oraz b

$?A=(1,4), B=(-2,1)\\ y=ax+b \\ \begin{cases} 4=a\cdot 1 +b \\ 1=-2\cdot a+b\end{cases} \\ \underline{- \ \ \ \begin{cases} 4=a+b \\ 1=-2a+b\end{cases}}\\ 3a=3/:3\\ a=1\\ a+b=4\\ 1+b=4\\ b=3\\ y=x+3$

Równanie prostej zawierającej odcinek było potrzebne, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy symetralnej, oznaczmy równanie symetralnej przez y=a_sx+b_s. Ponieważ proste te są prostopadłe, między ich współczynnikami kierunkowymi zachodzi zależność:

$a_s=-\frac{1}{a}$

Mamy więc:

$a_s=-\frac{1}{1}=-1$

Brakuje nam jeszcze współczynnika b_s. Skorzystamy z tego, że symetralna przechodzi przez środek odcinka, który możemy wyznaczyć następująco:

Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka $\overline{AB}$ :

$x_s=\frac{x_A+x_B}{2}, \ y_s=\frac{y_A+y_B}{2}$

Korzystamy z powyższego wzoru:

$A=(1,4), B=(-2,1)\\ x_s=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\\ y_s=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}\\ S=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$

Wstawiamy otrzymane współrzędne do równania symetralnej i obliczamy wyraz wolny:

$y=a_sx+b_s\\ y=-x+b_s\\ \frac{5}{2}=-(-\frac{1}{2})+b_s\\ b_s=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\\ b_s=2\\ y=-x+2$

Odpowiedź

Równanie symetralnej odcinka:

Zadania podobne

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.