Zadanie - symetralna odcinka
Treść zadania:
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).
Rozwiązanie zadania
Symetralna odcinka dzieli go na dwie równe części i jest prostopadła do prostej zawierającej dany odcinek. Aby znaleźć równanie symetralnej, skorzystamy z obu tych własności.
Wyznaczymy najpierw równanie prostej wyznaczonej przez punkty \(A, B\), wstawiając do równania kierunkowego prostej \(y=ax+b\) wartości współrzędnych tych punktów. Rozwiązanie układu równań pozwoli nam wyznaczyć współczynniki \(a\) oraz \(b\)
Równanie prostej zawierającej odcinek było potrzebne, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy symetralnej, oznaczmy równanie symetralnej przez \(y=a_sx+b_s\). Ponieważ proste te są prostopadłe, między ich współczynnikami kierunkowymi zachodzi zależność:
\(a_s=-\frac{1}{a}\)Mamy więc:
\(a_s=-\frac{1}{1}=-1\)
Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b_s\). Skorzystamy z tego, że symetralna przechodzi przez środek odcinka, który możemy wyznaczyć następująco:
Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\):
\(x_s=\frac{x_A+x_B}{2}, \ y_s=\frac{y_A+y_B}{2}\)Korzystamy z powyższego wzoru:
\(A=(1,4), B=(-2,1)\)
\(x_s=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\)
\ y_s=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}\)
\(S=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})\)
Wstawiamy otrzymane współrzędne do równania symetralnej i obliczamy wyraz wolny:
\(y=a_sx+b_s\)
\(y=-x+b_s\)
\(\frac{5}{2}=-(-\frac{1}{2})+b_s\)
\(b_s=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\)
\(b_s=2\)
\(y=-x+2\)
Odpowiedź
Równanie symetralnej odcinka:\(y=-x+2\)© medianauka.pl, 2011-01-04, ZAD-1072
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dane są punkty \(A=(-3,-2), B=(2, -2)\). Obliczyć długość odcinka \(\overline{AB}\).
Zadanie nr 2.
Dany jest punkt \(A=(1,4)\). Znaleźć taki punkt \(B\), że \(|\overline{AB}|=1\) i który leży na prostej \(x=\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).
Zadanie nr 4.
Dany jest odcinek o końcach \(A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)\). Znaleźć współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty \(A=(0,0), B=(1,2), C=(3,1), D=(2,-1)\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:
A. \(a=5\) i \(b=5\)
B. \(a=-1\) i \(b=2\)
C. \(a=4\) i \(b=10\)
D. \(a=-4\) i \(b=-2\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa
A. \(12\)
B. \(6\)
C. \(6\sqrt{2}\)
D. \(2\sqrt{6}\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Punkt B jest obrazem punktu \(A=(−3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa
A. \(2\sqrt{34}\)
B. \(8\)
C. \(\sqrt{34}\)
D. \(12\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Punkty \(K=(4,−10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa (−12). Wynika stąd, że
A. \(b=-28\)
B. \(b=-14\)
C. \(b=-24\)
D. \(b=-10\)