Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - symetralna odcinka


Znaleźć równanie symetralnej odcinka \overline{AB}, gdzie A=(1,4), \ B=(-2, 1)


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

A=(1,4), B=(-2,1)\\ y=ax+b \\ \underline{- \ \ \ \begin{cases} 4=a+b \\ 1=-2a+b\end{cases}}\\ 3a=3/:3\\ a=1\\ b=3\\ y=x+3
a_s=-\frac{1}{1}=-1
A=(1,4), B=(-2,1)\\ x_s=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\\ y_s=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}\\ S=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})
y=a_sx+b_s\\ y=-x+b_s\\ \frac{5}{2}=-(-\frac{1}{2})+b_s\\ b_s=2\\ y=-x+2

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Symetralna odcinka dzieli go na dwie równe części i jest prostopadła do prostej zawierającej dany odcinek. Aby znaleźć równanie symetralnej, skorzystamy z obu tych własności.

Symetralna odcinka

Wyznaczymy najpierw równanie prostej wyznaczonej przez punkty A, B, wstawiając do równania kierunkowego prostej y=ax+b wartości współrzędnych tych punktów. Rozwiązanie układu równań pozwoli nam wyznaczyć współczynniki a oraz b

?A=(1,4), B=(-2,1)\\ y=ax+b \\ \begin{cases} 4=a\cdot 1 +b \\ 1=-2\cdot a+b\end{cases} \\  \underline{- \ \ \ \begin{cases} 4=a+b \\ 1=-2a+b\end{cases}}\\ 3a=3/:3\\ a=1\\ a+b=4\\ 1+b=4\\ b=3\\ y=x+3

Równanie prostej zawierającej odcinek było potrzebne, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy symetralnej, oznaczmy równanie symetralnej przez y=asx+bs. Ponieważ proste te są prostopadłe, między ich współczynnikami kierunkowymi zachodzi zależność:

a_s=-\frac{1}{a}

Mamy więc:

a_s=-\frac{1}{1}=-1

Brakuje nam jeszcze współczynnika bs. Skorzystamy z tego, że symetralna przechodzi przez środek odcinka, który możemy wyznaczyć następująco:

Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka \overline{AB}:

x_s=\frac{x_A+x_B}{2}, \ y_s=\frac{y_A+y_B}{2}

Korzystamy z powyższego wzoru:

A=(1,4), B=(-2,1)\\ x_s=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\\ y_s=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}\\ S=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})

Wstawiamy otrzymane współrzędne do równania symetralnej i obliczamy wyraz wolny:

y=a_sx+b_s\\ y=-x+b_s\\ \frac{5}{2}=-(-\frac{1}{2})+b_s\\ b_s=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\\ b_s=2\\ y=-x+2

ksiązki Odpowiedź

Równanie symetralnej odcinka: y=-x+2

© medianauka.pl, 2011-01-04, ZAD-1072




Zadania podobne


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.