Zadanie - symetralna odcinka
Treść zadania:
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).
Rozwiązanie zadania
Symetralna odcinka dzieli go na dwie równe części i jest prostopadła do prostej zawierającej dany odcinek. Aby znaleźć równanie symetralnej, skorzystamy z obu tych własności.
Wyznaczymy najpierw równanie prostej wyznaczonej przez punkty \(A, B\), wstawiając do równania kierunkowego prostej \(y=ax+b\) wartości współrzędnych tych punktów. Rozwiązanie układu równań pozwoli nam wyznaczyć współczynniki \(a\) oraz \(b\)
Równanie prostej zawierającej odcinek było potrzebne, aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy symetralnej, oznaczmy równanie symetralnej przez \(y=a_sx+b_s\). Ponieważ proste te są prostopadłe, między ich współczynnikami kierunkowymi zachodzi zależność:
Mamy więc:
\(a_s=-\frac{1}{1}=-1\)
Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b_s\). Skorzystamy z tego, że symetralna przechodzi przez środek odcinka, który możemy wyznaczyć następująco:
Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\):
Korzystamy z powyższego wzoru:
\(A=(1,4), B=(-2,1)\)
\(x_s=\frac{1+(-2)}{2}=-\frac{1}{2}\)
\ y_s=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}\)
\(S=(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})\)
Wstawiamy otrzymane współrzędne do równania symetralnej i obliczamy wyraz wolny:
\(y=a_sx+b_s\)
\(y=-x+b_s\)
\(\frac{5}{2}=-(-\frac{1}{2})+b_s\)
\(b_s=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\)
\(b_s=2\)
\(y=-x+2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-04, ZAD-1072
