Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)


Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy oznaczenia:

Mamy dane:
A=(-2,0),
B=(2,0),
Oznaczmy współrzędne C przez:
C=(x,y).
Ponieważ punkt C leży na paraboli o danym równaniu, wiemy ile wynosi współrzędna y tego punktu:

Znajdziemy teraz współrzędne punktu D. Wiemy, że parabola jest symetryczna względem osi Oy. Zatem współrzędna y punktu D jest taka sama jak punktu C, natomiast współrzędna x jest przeciwna. Stąd:

Długości odcinków a, b i h policzymy ze wzoru:

Obliczamy długość odcinka a:

Obliczamy teraz długość odcinka b:

W przypadku długości h możemy odczytać długość wprost z wykresu:

Pole trapezu obliczymy ze wzoru:

Mamy więc:

Uzależniliśmy pole trapezu od pierwszej współrzędnej punktu C. Znajdziemy teraz maksimum tej funkcji.
Jeżeli funkcja P(x) ma ekstremum w danym punkcie i ma w tym punkcie pochodną, to pochodna tej funkcji w tym punkcie jest równa zeru. Obliczamy pochodną funkcji P(x):

Badamy w jakich punktach pochodna jest równa zeru.

W tym miejscu pamiętamy, że x może przyjmować wartości od 0 do 2 (zgodnie z warunkami zadania punkt C nie może się znajdować w innym obszarze), więc tylko pierwszy pierwiastek nas interesuje. Zapiszmy postać iloczynową naszego trójmianu:

Pochodna P'(x)>0 wtedy i tyko wtedy, gdy x-2/3<0 i x∈(0;2), czyli x∈(0;2/3).
Pochodna P'(x)<0 wtedy i tyko wtedy, gdy x-2/3>0 i x∈(0;2), czyli x∈(2/3;2).
Zatem w punkcje x=2/3 funkcja posiada maksimum.

Odpowiedź
© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3288
Zadania podobne

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem

Pokaż rozwiązanie zadania

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Pokaż rozwiązanie zadania