Strona główna » Matematyka » Odcinek • Pochodna funkcji a ekstremum • Pochodna w zadaniach z treścią

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy oznaczenia:

Mamy dane:

A=(-2,0),

B=(2,0),

Oznaczmy współrzędne C przez:

C=(x,y).

Ponieważ punkt C leży na paraboli o danym równaniu, wiemy ile wynosi współrzędna y tego punktu:

$C=(x,2-\frac{1}{2}x^2)$

Znajdziemy teraz współrzędne punktu D. Wiemy, że parabola jest symetryczna względem osi Oy. Zatem współrzędna y punktu D jest taka sama jak punktu C, natomiast współrzędna x jest przeciwna. Stąd:

$D=(-x,2-\frac{1}{2}x^2)$

Długości odcinków a, b i h policzymy ze wzoru:

$d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Obliczamy długość odcinka a:

$a=\sqrt{(2+2)^2+0^2}=4$

Obliczamy teraz długość odcinka b:

$b=\sqrt{(x+x)^2+(2-2+\frac{1}{2}x^2)^2}=\sqrt{4x^2}=2x$

W przypadku długości h możemy odczytać długość wprost z wykresu:

$h=2-\frac{1}{2}x^2$

Pole trapezu obliczymy ze wzoru:

$P=\frac{1}{2}(a+b)h$

Mamy więc:

$P(x)=\frac{1}{2}(4+2x)(2-\frac{1}{2}x^2)=(2+x)(2-\frac{1}{2}x^2)=-\frac{x^3}{2}+2x-x^2+2$

Uzależniliśmy pole trapezu od pierwszej współrzędnej punktu C. Znajdziemy teraz maksimum tej funkcji.

Jeżeli funkcja P(x) ma ekstremum w danym punkcie i ma w tym punkcie pochodną, to pochodna tej funkcji w tym punkcie jest równa zeru. Obliczamy pochodną funkcji P(x):

$P'(x)=\frac{-3x^2}{2}+2-2x$

Badamy w jakich punktach pochodna jest równa zeru.

$\frac{-3x^2}{2}+2-2x=0/\cdot 2\\-3x^2-4x+4=0\\\Delta=16+48=64\\ x_1=\frac{2}{3}\\x_2=-2$

W tym miejscu pamiętamy, że x może przyjmować wartości od 0 do 2 (zgodnie z warunkami zadania punkt C nie może się znajdować w innym obszarze), więc tylko pierwszy pierwiastek nas interesuje. Zapiszmy postać iloczynową naszego trójmianu: