Nauka » Matematyka » Odcinek Pochodna funkcji a ekstremum Pochodna w zadaniach z treścią

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy oznaczenia:

Mamy dane:

A=(-2,0),

B=(2,0),

Oznaczmy współrzędne C przez:

C=(x,y).

Ponieważ punkt C leży na paraboli o danym równaniu, wiemy ile wynosi współrzędna y tego punktu:

$C=(x,2-\frac{1}{2}x^2)$

Znajdziemy teraz współrzędne punktu D. Wiemy, że parabola jest symetryczna względem osi Oy. Zatem współrzędna y punktu D jest taka sama jak punktu C, natomiast współrzędna x jest przeciwna. Stąd:

$D=(-x,2-\frac{1}{2}x^2)$

Długości odcinków a, b i h policzymy ze wzoru:

$d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Obliczamy długość odcinka a:

$a=\sqrt{(2+2)^2+0^2}=4$

Obliczamy teraz długość odcinka b:

$b=\sqrt{(x+x)^2+(2-2+\frac{1}{2}x^2)^2}=\sqrt{4x^2}=2x$

W przypadku długości h możemy odczytać długość wprost z wykresu:

$h=2-\frac{1}{2}x^2$

Pole trapezu obliczymy ze wzoru:

$P=\frac{1}{2}(a+b)h$

Mamy więc:

$P(x)=\frac{1}{2}(4+2x)(2-\frac{1}{2}x^2)=(2+x)(2-\frac{1}{2}x^2)=-\frac{x^3}{2}+2x-x^2+2$

Uzależniliśmy pole trapezu od pierwszej współrzędnej punktu C. Znajdziemy teraz maksimum tej funkcji.

Jeżeli funkcja P(x) ma ekstremum w danym punkcie i ma w tym punkcie pochodną, to pochodna tej funkcji w tym punkcie jest równa zeru. Obliczamy pochodną funkcji P(x):

$P'(x)=\frac{-3x^2}{2}+2-2x$

Badamy w jakich punktach pochodna jest równa zeru.

$\frac{-3x^2}{2}+2-2x=0/\cdot 2\\-3x^2-4x+4=0\\\Delta=16+48=64\\ x_1=\frac{2}{3}\\x_2=-2$

W tym miejscu pamiętamy, że x może przyjmować wartości od 0 do 2 (zgodnie z warunkami zadania punkt C nie może się znajdować w innym obszarze), więc tylko pierwszy pierwiastek nas interesuje. Zapiszmy postać iloczynową naszego trójmianu:

Pochodna P'(x)>0 wtedy i tyko wtedy, gdy x-2/3<0 i x∈(0;2), czyli x∈(0;2/3).

Pochodna P'(x)<0 wtedy i tyko wtedy, gdy x-2/3>0 i x∈(0;2), czyli x∈(2/3;2).

Zatem w punkcje x=2/3 funkcja posiada maksimum.

$x_0=\frac{2}{3}\\ C=(\frac{2}{3},2-\frac{1}{2}\cdot(\frac{2}{3})^2)=(\frac{2}{3},\frac{16}{9})$

Odpowiedź

C=(2/3, 16/9)

Zadania podobne

Zadanie - zadanie z treścią - zastosowanie pochodnej
Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem

. Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z treścią
Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.