Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy oznaczenia:
Mamy dane: \(A=(-2,0),\ B=(2,0)\).
Oznaczmy współrzędne \(C\) przez \(C=(x,y)\).
Ponieważ punkt \(C\) leży na paraboli o danym równaniu, wiemy ile wynosi współrzędna \(y\) tego punktu:
\(C=(x,2-\frac{1}{2}x^2)\)
Znajdziemy teraz współrzędne punktu \(D\). Wiemy, że parabola jest symetryczna względem osi \(Oy\). Zatem współrzędna \(y\) punktu \(D\) jest taka sama jak punktu \(C\), natomiast współrzędna \(x\) jest przeciwna. Stąd:
\(D=(-x,2-\frac{1}{2}x^2)\)
Długości odcinków \(a, b\) i \(h\) policzymy ze wzoru:
\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)Obliczamy długość odcinka \(a\):
\(a=\sqrt{(2+2)^2+0^2}=4\)
Obliczamy teraz długość odcinka \(b\):
\(b=\sqrt{(x+x)^2+(2-2+\frac{1}{2}x^2)^2}=\sqrt{4x^2}=2x\)
W przypadku długości \(h\) możemy odczytać długość wprost z wykresu:
\(h=2-\frac{1}{2}x^2\)
Pole trapezu obliczymy ze wzoru:
\(P=\frac{1}{2}(a+b)h\)Mamy więc:
\(P(x)=\frac{1}{2}(4+2x)(2-\frac{1}{2}x^2)=(2+x)(2-\frac{1}{2}x^2)=\)
\(=-\frac{x^3}{2}+2x-x^2+2\)
Uzależniliśmy pole trapezu od pierwszej współrzędnej punktu \(C\). Znajdziemy teraz maksimum tej funkcji.
Jeżeli funkcja \(P(x)\) ma ekstremum w danym punkcie i ma w tym punkcie pochodną, to pochodna tej funkcji w tym punkcie jest równa zeru. Obliczamy pochodną funkcji \(P(x)\):
\(P'(x)=\frac{-3x^2}{2}+2-2x\)
Badamy w jakich punktach pochodna jest równa zeru.
\(\frac{-3x^2}{2}+2-2x=0/\cdot 2\)
\(-3x^2-4x+4=0\)
\(\Delta=16+48=64\)
\(x_1=\frac{2}{3}\)
\(x_2=-2\)
W tym miejscu pamiętamy, że \(x\) może przyjmować wartości od \(0\) do \(2\) (zgodnie z warunkami zadania punkt \(C\) nie może się znajdować w innym obszarze), więc tylko pierwszy pierwiastek nas interesuje. Zapiszmy postać iloczynową naszego trójmianu:
\(x\in(0;2)\)
\(P'(x)=-\frac{3}{2}(x-\frac{2}{3})(x+2)\)
Pochodna \(P'(x)>0\) wtedy i tyko wtedy, gdy \(x-\frac{2}{3}<0\) i \(x\in (0;2)\), czyli \(x\in (0;\frac{2}{3})\).
Pochodna \(P'(x)<0\) wtedy i tyko wtedy, gdy \(x-\frac{2}{3}>0\) i \(x\in (0;2)\), czyli \(x\in (\frac{2}{3};2)\).
Zatem w punkcje \(x=\frac{2}{3}\) funkcja posiada maksimum.
\(x_0=\frac{2}{3}\)
\( C=(\frac{2}{3},2-\frac{1}{2}\cdot(\frac{2}{3})^2)=(\frac{2}{3},\frac{16}{9})\)
Odpowiedź
\(C=(\frac{2}{3}, \frac{16}{9})\)© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3288
Zadania podobne
Zadanie nr 5.
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).
1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).
2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).