Pochodna w zadaniach z treścią
Bardzo ciekawe zastosowanie pochodnej związane jest z zagadnieniami geometrii, ekonomii, fizyki i innych dziedzin, gdy szukamy najbardziej optymalnych rozwiązań w zależności od różnego rodzaju parametrów (gdy na przykład chcemy znaleźć pole największe pole powierzchni figury w zależności od różnych długości jej wymiarów, lub optymalne koszty w zależności od innych parametrów.) W takim przypadku korzystamy z wiedzy jaką zdobyliśmy podczas wyznaczania największej i najmniejszej wartości funkcji oczywiście z wykorzystaniem ekstremum funkcji i jej pochodnej.
Podstawową trudnością podczas rozwiązywania tego typu problemów jest znalezienie funkcji zależności między szukaną wartością a parametrami tak, aby była to funkcja jednej zmiennej. Potem postępujemy już tak, jak przy zwykłym wyznaczaniu największej lub najmniejszej wartości funkcji. Zilustrujmy to przykładem:
Przykład
Który z trójkątów równoramiennych o obwodzie równym S=4 ma największe pole powierzchni?

Wprowadzamy oznaczenia:
P - pole powierzchni,
h - wysokość trójkąta,
a - podstawa trójkąta,
b - długość ramion trójkąta,
S=4 - obwód trójkąta.
Szukamy największego pola powierzchni, które w przypadku trójkąta wyraża się wzorem:

Nie możemy skorzystać jeszcze z wiadomości o ekstremum funkcji, ponieważ powyższy wzór się do tego nie nadaje. Mamy bowiem pole powierzchni P uzależnione od zmiennej a o9raz h. Skorzystajmy zatem z tego, że dany jest obwód trójkąta:
Stąd możemy a wyrazić poprzez inną zmienną (będzie wygodniej):
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy napisać:
a wyznaczyliśmy nieco wcześniej, więc wstawiamy do powyższego wzoru:
Wstawiamy wyliczoną wartość a oraz h do wzoru na pole trójkąta:
Ponieważ pole powierzchni trójkąta jest teraz funkcją jednej zmiennej, możemy szukać ekstremum funkcji. Szukamy go w miejscach, w których pochodna jest równa zeru. Obliczamy więc pochodną funkcji P(b) - jest to pochodna iloczynu funkcji:
Szukamy ekstremum w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru:
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem.
Gdy b=4/3 pole powierzchni osiąga maksimum lub minimum. Zauważamy, że dla b mniejszych od 4/3 pochodna przyjmuje dodatnie wartości, natomiast dla pozostałych - wartości ujemne. Pochodna przechodzi więc przez punkt 4/3 ze znaku dodatniego w ujemny - osiąga więc w tym punkcie maksimum.
Obliczmy jeszcze długość podstawy a:
oraz pole P:
Odpowiedź: Pole trójkąta o obwodzie S=4 jest największe, gdy wszystkie jego boki są równe i mają długość 4/3
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Pochodna w zadaniach z treścią
Zadanie - zadanie z treścią - zastosowanie pochodnej
Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem . Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?
Zadanie - zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z treścią
Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?
Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Równanie stycznej do krzywej

Styczna do krzywej y=f(x) w punkcie A(x0,f(x0)) określona jest równaniem: y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)
Pochodna a monotoniczność funkcji

Aby sprawdzić czy funkcja jest rosnąca czy malejąca w danym przedziale należy zbadać znak pochodnej.
Pochodna funkcji a ekstremum

Jeżeli pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt x0 zmienia znak z ujemnego na dodatni, to funkcja f(x) osiąga minimum w tym punkcie.
© medianauka.pl, 2010-09-26, ART-942