Pochodna w zadaniach z treścią

Bardzo ciekawe zastosowanie pochodnej związane jest z zagadnieniami geometrii, ekonomii, fizyki i innych dziedzin, gdy szukamy najbardziej optymalnych rozwiązań w zależności od różnego rodzaju parametrów (gdy na przykład chcemy znaleźć pole największe pole powierzchni figury w zależności od różnych długości jej wymiarów, lub optymalne koszty w zależności od innych parametrów.) W takim przypadku korzystamy z wiedzy jaką zdobyliśmy podczas wyznaczania największej i najmniejszej wartości funkcji oczywiście z wykorzystaniem ekstremum funkcji i jej pochodnej.

Podstawową trudnością podczas rozwiązywania tego typu problemów jest znalezienie funkcji zależności między szukaną wartością a parametrami tak, aby była to funkcja jednej zmiennej. Potem postępujemy już tak, jak przy zwykłym wyznaczaniu największej lub najmniejszej wartości funkcji. Zilustrujmy to przykładem:

Przykład

Który z trójkątów równoramiennych o obwodzie równym S=4 ma największe pole powierzchni?

Wprowadzamy oznaczenia:

P - pole powierzchni,
h - wysokość trójkąta,
a - podstawa trójkąta,
b - długość ramion trójkąta,
S=4 - obwód trójkąta.

Szukamy największego pola powierzchni, które w przypadku trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}ah$ .

Nie możemy skorzystać jeszcze z wiadomości o ekstremum funkcji, ponieważ powyższy wzór się do tego nie nadaje. Mamy bowiem pole powierzchni P uzależnione od zmiennej a o9raz h. Skorzystajmy zatem z tego, że dany jest obwód trójkąta:

Stąd możemy a wyrazić poprzez inną zmienną (będzie wygodniej):

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy napisać:

$h^2+(\frac{1}{2}a)^2=b^2\\ h^2=b^2-\frac{1}{4}a^2$

a wyznaczyliśmy nieco wcześniej, więc wstawiamy do powyższego wzoru:

$h^2=b^2-\frac{1}{4}(4-2b)^2=b^2-\frac{1}{4}(16-16b+4b^2)=b^2-4+4b-b^2=4b-4=4(b-1)\\ h=\sqrt{4(b-1)}=2\sqrt{b-1}$

Wstawiamy wyliczoną wartość a oraz h do wzoru na pole trójkąta:

$P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}(4-2b)\cdot 2\sqrt{b-1}\\ P=(4-2b)\sqrt{b-1}$

Ponieważ pole powierzchni trójkąta jest teraz funkcją jednej zmiennej, możemy szukać ekstremum funkcji. Szukamy go w miejscach, w których pochodna jest równa zeru. Obliczamy więc pochodną funkcji P(b) - jest to pochodna iloczynu funkcji:

$P'=[(4-2b)\sqrt{b-1}]'=(4-2b)'\sqrt{b-1}+(4-2b)(\sqrt{b-1})'=-2\sqrt{b-1}+(4-2b)\cdot \frac{1}{2\sqrt{b-1}}=\\ =-2\sqrt{b-1}+\cancel{2}(2-b)\frac{1}{\cancel{2}\sqrt{b-1}}=\frac{-2\sqrt{b-1}\cdot \sqrt{b-1}}{\sqrt{b-1}}+\frac{2-b}{\sqrt{b-1}}=\frac{-2(b-1)+2-b}{\sqrt{b-1}}=\frac{4-3b}{\sqrt{b-1}}$

Szukamy ekstremum w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru:

$P'=0\Leftrightarrow \frac{4-3b}{\sqrt{b-1}}=0$

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem.

$4-3b=0\\ 3b=4/:3\\ b=\frac{4}{3}$

Gdy b=4/3 pole powierzchni osiąga maksimum lub minimum. Zauważamy, że dla b mniejszych od 4/3 pochodna przyjmuje dodatnie wartości, natomiast dla pozostałych - wartości ujemne. Pochodna przechodzi więc przez punkt 4/3 ze znaku dodatniego w ujemny - osiąga więc w tym punkcie maksimum.

Obliczmy jeszcze długość podstawy a:

$a=4-2b=4-2\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{3}$