Zadanie maturalne nr 15, matura 2020 - poziom rozszerzony


Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

zadanie maturalne 15, matura rozszerzona 2020


ksiązki Rozwiązanie zadania

Oznaczmy przez\(x\) dłuższą krawędź ekranu, a przez \(y\) krótszą krawędź. Posługujmy się milimetrami. Pole powierzchni ekranu jest więc równe:

\(60\ cm^2=60\ (10\ mm)^2=6000\ mm^2\)

Z warunków zadania wiemy, że:

\(xy=6000\)

\(y=\frac{6000}{x}\).

Pole powierzchni ekranu wraz z krawędziami wynosi:

\(P=(x+10)(x+6)=xy+6x+10y+60\)

\(P=6000+6x+10\cdot \frac{6000}{x}+60\)

\(P=6x+\frac{60000}{x}+6060\)

Mamy pole powierzchni urządzenia wyrażone poprzez zmienną x. Aby obliczyć ekstremum tej funkcji obliczamy pochodną funkcji \(P(x)\) względem \(x\).

\(P'(x)=6-\frac{60000}{x^2}=\frac{6x^2}{x^2}-\frac{60000}{x^2}=\frac{6(x^2-10000)}{x^2}\)

Jeżeli funkcja ma ekstremum w pewnym punkcie  i ma w tym punkcie pochodną, to pochodna w tym punkcie jest równa zeru.

\(P'(x)=0\)

\(\frac{6(x^2-10000)}{x^2}=0/:6\)

\(\frac{(x-100)(x+100)}{x^2}=0\)

Mamy dwa pierwiastki tego równania: 100 i -100.

Przyjrzyjmy się warunkom zadania. Określimy jeszcze dziedzinę rozwiązań:

Zakładamy, że jedna z krawędzi jest dłuższa od drugiej i obie mają dodatnią długość: \(x+10>y+6>0\). Zatem:

\(x+10>y+6\)

\(x+10-6>\frac{6000}{x}\)

\(x+4>\frac{6000}{x}/ \cdot x (x>0)\)

\(x^2+4x>6000\)

\(x^2+4x+4>6000+4\)

\((x+2)^2>6004\)

\(|x+2|>\sqrt{4\cdot 1501}\)

\(x+2>2\sqrt{1501}\)

\(x>2\sqrt{1501}-2\approx 76\)

Zatem pierwiastek \(-100\) nie należy do dziedziny rozwiązań. Pochodna \(P'(x)\) jest ujemna dla wartości poniżej 100 (i powyżej \(2\sqrt{1501}-2\approx 76\)), a większa dla wartości powyżej 100, zatem w tym miejscu ma minimum.

\(x_{min}=100\ mm\)

\(y_{min}=\frac{6000}{x_{min}}=60\ mm\)

ksiązki Odpowiedź

Poszukiwanymi wymiarami ekranu smartfona są: x = 10 cm, y = 6 cm.

© medianauka.pl, 2023-03-20, ZAD-4788

Zadania podobne

kulkaZadanie - zadanie z treścią - zastosowanie pochodnej

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z treścią

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2022 - poziom rozszerzony

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.