Strona główna » Matematyka » Pochodna w zadaniach z treścią

Zadanie - zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z treścią

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$V=\pi r^2h\\ h=\frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+\frac{2V}{r}\\ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}\\ S'=0\\ \frac{4\pi r^3}{r^2}-\frac{2V}{r^2}=0\\ 4\pi r^3-2V=0/:4\pi \\r^3=\frac{2V}{4\pi} \\ r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}\\ h_{min}=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}}=\frac{V\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{\pi\cdot \frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}r_{min}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rysunek przedstawia kształt puszki. Wprowadzamy oznaczenia: walec
h - wysokość puszki (walca)
r - promień podstawy puszki (koła)
V - objętość walca (pojemność puszki)
S - pole powierzchni walca (ilość zużytej blachy)

Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni walca:

$S=2\pi r^2+2\pi rh$

Jeśli go nie pamiętasz, łatwo go można sobie wyprowadzić. Pole powierzchni walca jest równe polu obu podstaw (dwa razy pole koła) oraz polu powierzchni ściany bocznej (prostokąt o bokach długość równych wysokości walca oraz obwodowi koła, stanowiącego podstawę walca).

Mamy funkcję dwóch zmiennych (r i h). Skorzystajmy więc z danego w zadaniu V, czyli wzoru na objętość walca (pole podstawy razy wysokość):

$V=\pi r^2h$

Z drugiego równania wyznaczymy h w wstawimy do wzoru na pole powierzchni.

$V=\pi r^2h/:\pi r^2 \\ h=\frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+2\pi rh\\ S=2\pi r^2+2\cancel{\pi r} \cdot \frac{V}{\cancel{\pi} r^{\cancel{2}}}\\ S=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$ tło

Mamy do czynienia z funkcją jednej zmiennej r (V jest daną liczbą). Szukamy minimum (ekstremum) w punktach w których pochodna przyjmuje wartość zero. Obliczamy więc pochodną funkcji S(r) (względem zmiennej r)

$S=2\pi r^2+2V\cdot r^{-1} \\ S'=2\pi \cdot 2r+2V\cdot (-1)\cdot r^{-2}\\ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}$

Pochodna jest równa zeru:

$S'=0\\ 4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0\\ 4\pi r\cdot \frac{r^2}{r^2}-\frac{2V}{r^2}=0\\ \frac{4\pi r^3-2V}{r^2}=0$

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zero.

$4\pi r^3-2V=0\\ 4\pi r^3=2V/:4\pi\\ r^3=\frac{2V}{4\pi}\\ r=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$

W tym punkcie mamy ekstremum o ile pochodna zmienia znak. Zbadajmy znak pochodnej:

$S'>0\\ \frac{4\pi r^3-2V}{r^2}>0$

W mianowniku ułamka jest kwadrat liczby (jest dodatni), więc licznik również musi być dodatni:

$4\pi r^3-2V>0/:4\pi\\ r^3-\frac{2V}{4\pi}>0 \\ r^3-(\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})^3>0$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$(r-\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})(r^2+2r\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}+(\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})^2)>0$

Drugi człon jest dodatni (mamy sumę dodatnich czynników), a iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie lub ujemne (ten przypadek tutaj nie występuje). Możemy więc napisać, że:

$r-\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}>0\\ r>\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$

Analogicznie możemy napisać, że:

$S'<0 \Leftrightarrow r<\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$

Zatem w punkcie $r=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$ pochodna przechodzi ze znaku ujemnego w dodatni - funkcja S(r) osiąga minimum

$r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$

Musimy jeszcze znaleźć wymiar h:

$h_{min}=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})^2}=\frac{V}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}}=\frac{V\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}=\frac{V\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{\pi\cdot \frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}r_{min}$