Zadanie - zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z treścią
Rozwiązanie zadania uproszczone

![V=\pi r^2h\\ h=\frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+\frac{2V}{r}\\ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}\\ S'=0\\ \frac{4\pi r^3}{r^2}-\frac{2V}{r^2}=0\\ 4\pi r^3-2V=0/:4\pi \\r^3=\frac{2V}{4\pi} \\ r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}\\ h_{min}=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}}=\frac{V\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{\pi\cdot \frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}r_{min}](matematyka/wzory/zad507/1.gif)
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Rysunek przedstawia kształt puszki. Wprowadzamy oznaczenia:
h - wysokość puszki (walca)
r - promień podstawy puszki (koła)
V - objętość walca (pojemność puszki)
S - pole powierzchni walca (ilość zużytej blachy)
Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni walca:

Jeśli go nie pamiętasz, łatwo go można sobie wyprowadzić. Pole powierzchni walca jest równe polu obu podstaw (dwa razy pole koła) oraz polu powierzchni ściany bocznej (prostokąt o bokach długość równych wysokości walca oraz obwodowi koła, stanowiącego podstawę walca).
Mamy funkcję dwóch zmiennych (r i h). Skorzystajmy więc z danego w zadaniu V, czyli wzoru na objętość walca (pole podstawy razy wysokość):

Z drugiego równania wyznaczymy h w wstawimy do wzoru na pole powierzchni.



Mamy do czynienia z funkcją jednej zmiennej r (V jest daną liczbą). Szukamy minimum (ekstremum) w punktach w których pochodna przyjmuje wartość zero. Obliczamy więc pochodną funkcji S(r) (względem zmiennej r)

Pochodna jest równa zeru:

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zero.
![4\pi r^3-2V=0\\ 4\pi r^3=2V/:4\pi\\ r^3=\frac{2V}{4\pi}\\ r=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}](matematyka/wzory/zad507/7.gif)
W tym punkcie mamy ekstremum o ile pochodna zmienia znak. Zbadajmy znak pochodnej:

W mianowniku ułamka jest kwadrat liczby (jest dodatni), więc licznik również musi być dodatni:
![4\pi r^3-2V>0/:4\pi\\ r^3-\frac{2V}{4\pi}>0 \\ r^3-(\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})^3>0](matematyka/wzory/zad507/9.gif)
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Mamy więc:
![(r-\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})(r^2+2r\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}+(\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})^2)>0](matematyka/wzory/zad507/11.gif)
Drugi człon jest dodatni (mamy sumę dodatnich czynników), a iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie lub ujemne (ten przypadek tutaj nie występuje). Możemy więc napisać, że:
![r-\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}>0\\ r>\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}](matematyka/wzory/zad507/12.gif)
Analogicznie możemy napisać, że:
![S'<0 \Leftrightarrow r<\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}](matematyka/wzory/zad507/13.gif)
Zatem w punkcie pochodna przechodzi ze znaku ujemnego w dodatni - funkcja S(r) osiąga minimum
![r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}](matematyka/wzory/zad507/15.gif)
Musimy jeszcze znaleźć wymiar h:
![h_{min}=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})^2}=\frac{V}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}}=\frac{V\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}=\frac{V\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{\pi\cdot \frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}r_{min}](matematyka/wzory/zad507/16.gif)
Zatem na wykonanie puszki zużyjemy najmniej blachy, jeżeli średnica (2 razy promień) podstawy będzie równa wysokości puszki.
Odpowiedź
![r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}, \ h_{min}=\frac{1}{2}r_{min}](matematyka/wzory/zad507/17.gif)
© medianauka.pl, 2010-09-29, ZAD-946
Zadania podobne

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem

Pokaż rozwiązanie zadania

Parabola o równaniu


Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Pokaż rozwiązanie zadania

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Pokaż rozwiązanie zadania