Nauka » Matematyka » Pochodna w zadaniach z treścią

Zadanie - zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z treścią

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$V=\pi r^2h\\ h=\frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+\frac{2V}{r}\\ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}\\ S'=0\\ \frac{4\pi r^3}{r^2}-\frac{2V}{r^2}=0\\ 4\pi r^3-2V=0/:4\pi \\r^3=\frac{2V}{4\pi} \\ r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}\\ h_{min}=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}}=\frac{V\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{\pi\cdot \frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}r_{min}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Rysunek przedstawia kształt puszki. Wprowadzamy oznaczenia: walec
h - wysokość puszki (walca)
r - promień podstawy puszki (koła)
V - objętość walca (pojemność puszki)
S - pole powierzchni walca (ilość zużytej blachy)

Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni walca:

$S=2\pi r^2+2\pi rh$

Jeśli go nie pamiętasz, łatwo go można sobie wyprowadzić. Pole powierzchni walca jest równe polu obu podstaw (dwa razy pole koła) oraz polu powierzchni ściany bocznej (prostokąt o bokach długość równych wysokości walca oraz obwodowi koła, stanowiącego podstawę walca).

Mamy funkcję dwóch zmiennych (r i h). Skorzystajmy więc z danego w zadaniu V, czyli wzoru na objętość walca (pole podstawy razy wysokość):

$V=\pi r^2h$

Z drugiego równania wyznaczymy h w wstawimy do wzoru na pole powierzchni.

$V=\pi r^2h/:\pi r^2 \\ h=\frac{V}{\pi r^2}\\ S=2\pi r^2+2\pi rh\\ S=2\pi r^2+2\cancel{\pi r} \cdot \frac{V}{\cancel{\pi} r^{\cancel{2}}}\\ S=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$ tło

Mamy do czynienia z funkcją jednej zmiennej r (V jest daną liczbą). Szukamy minimum (ekstremum) w punktach w których pochodna przyjmuje wartość zero. Obliczamy więc pochodną funkcji S(r) (względem zmiennej r)

$S=2\pi r^2+2V\cdot r^{-1} \\ S'=2\pi \cdot 2r+2V\cdot (-1)\cdot r^{-2}\\ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}$

Pochodna jest równa zeru:

$S'=0\\ 4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0\\ 4\pi r\cdot \frac{r^2}{r^2}-\frac{2V}{r^2}=0\\ \frac{4\pi r^3-2V}{r^2}=0$

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zero.

$4\pi r^3-2V=0\\ 4\pi r^3=2V/:4\pi\\ r^3=\frac{2V}{4\pi}\\ r=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$

W tym punkcie mamy ekstremum o ile pochodna zmienia znak. Zbadajmy znak pochodnej:

$S'>0\\ \frac{4\pi r^3-2V}{r^2}>0$

W mianowniku ułamka jest kwadrat liczby (jest dodatni), więc licznik również musi być dodatni:

$4\pi r^3-2V>0/:4\pi\\ r^3-\frac{2V}{4\pi}>0 \\ r^3-(\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})^3>0$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Mamy więc:

$(r-\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})(r^2+2r\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}+(\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}})^2)>0$

Drugi człon jest dodatni (mamy sumę dodatnich czynników), a iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie lub ujemne (ten przypadek tutaj nie występuje). Możemy więc napisać, że:

$r-\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}>0\\ r>\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$

Analogicznie możemy napisać, że:

$S'<0 \Leftrightarrow r<\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$

Zatem w punkcie $r=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$ pochodna przechodzi ze znaku ujemnego w dodatni - funkcja S(r) osiąga minimum

$r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}$

Musimy jeszcze znaleźć wymiar h:

$h_{min}=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})^2}=\frac{V}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}}=\frac{V\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}{\pi \sqrt[3]{\frac{V^2}{4\pi ^2}}\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}=\frac{V\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}{\pi\cdot \frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=\frac{1}{2}r_{min}$

Zatem na wykonanie puszki zużyjemy najmniej blachy, jeżeli średnica (2 razy promień) podstawy będzie równa wysokości puszki.

Odpowiedź

Puszka powinna mieć wymiary $r_{min}=\sqrt[3]{\frac{2V}{4\pi}}, \ h_{min}=\frac{1}{2}r_{min}$

Zadania podobne

Zadanie - zadanie z treścią - zastosowanie pochodnej
Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem

. Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.