Zadanie maturalne nr 15, matura 2022 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Niech \(a\) oznacza długość podstawy trójkąta, a \(b\) - długość pozostałych dwóch boków, \(h\) zaś wysokość tego trójkąta równoramiennego.

Część a)

W zadaniu dany jest obwód trójkąta:

\(a+b+b=18\)

\(a+2b=18\)

\(a=18-2b\)

Należy pamiętać, że \(a i b\) są liczbami dodatnimi, a obwód musi być również dodatni:

\(18-2b>0\)

\(-2b>-18/:(-2)\)

\(b<9\)

Zatem: \(b\in(0,9)\)

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

\(h^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\)

\(h^2=b^2-\frac{a^2}{4}\)

\(h^2=b^2-\frac{(2^2(9-b)^2}{4}\)

\(h^2=b^2-(9-b)^2\)

\(h^2=b^2-(81-18b+b^2)\)

\(h^2=18b-81\)

\(h=\sqrt{18b-81}\)

\(18b-81>0\)

\(18b>81\)

\(b>\frac{81}{18}\)

\(b>\frac{9}{2}\)

Zatem \(b\in (\frac{9}{2};9)\)

Obliczamy pole:

\(P=\frac{1}{2}ah=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}\)

Część b)

W części a już wyznaczyliśmy dziedzinę funkcji \(P(b)\). Jest to zbiór \((\frac{9}{2};9)\)

Część c)

Dana jest funkcja

\(P(b)=\frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}(18-2b)^2(18b-81)}=\sqrt{f(b)}\)

Aby znacznie uprościć rachunki zauważamy, że funkcja \(\sqrt{f(b)}\) jest rosnąca w całej swej dziedzinie, zatem osiąga maksimum dla tego samego argumentu co funkcja \(f(x)\). Wystarczy więc znaleźć maksimum funkcji \(f(x)\).

Obliczamy pochodną:

\(f'(b)=\frac{1}{4}\cdot 2(18-2b)\cdot(-2)\cdot (18b-81)+(18-2b)^2\cdot 18= \)

\(=(-18+2b)(18b-81)+\frac{9}{2}\cdot(324-72b+4b^2)\)

\(-324b+1458+36b^2-162b+1458-324b+18b^2= \)

\(-810b+2916+54b^2 \)

Szukamy miejsca zerowego pochodnej:

\(f'(b)=0\)

\(-810b+2916+54b^2=0/:54 \)

\(b^2-15b+54=0\)

\(\Delta_b=225-216=9\)

\(b_1=\frac{15-3}{2}=6\in (\frac{9}{2};9)\)

\(b_2=\frac{15+3}{2}=9\notin (\frac{9}{2};9)\)

Pochodna jest ujemna w przedziale \((6;9)\) i dodatnia w pozostałym obszarze. Oznacza to, że w punkcie 6 funkcja \(f(b)\) i jednocześnie \(\sqrt{f(b)}\) osiąga maksimum.

Dla \(b=6\) mamy \(a=18-2\cdot 6=6\).

Spośród rozważanych trójkątów największe pole ma trójkąt równoboczny o boku 6.

© medianauka.pl, 2023-04-29, ZAD-4893

Zadania podobne

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm². Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m³. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m² dna
– 75 zł za 1 m² ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.