Zadanie - zadanie z treścią - zastosowanie pochodnej

Treść zadania:

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?


ksiązki Rozwiązanie zadania

Mamy już ułatwione zadanie, gdyż podane jest gotowe równanie jednej zmiennej. Szukamy maksymalnego wzniesienia kamienia, czyli maksymalną wartość zmiennej y. Szukamy więc ekstremum funkcji \(y=f(x)\). W tym celu obliczamy pochodną:

\(y'=(x-x^2)'=1-2x\)

Szukamy ekstremum funkcji w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru:

\(y'=0\)

\(1-2x=0 \)

\(2x=1/:2 \)

\(x=\frac{1}{2}\)

W tym punkcie funkcja osiąga ekstremum, o ile zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na dodatni lub z dodatniego na ujemny. Jak widać dla wartości mniejszych od \(\frac{1}{2}\) pochodna funkcji \(y'=1-2x\) przyjmuje dodatnie wartości, a dla \(x\) większych od \(\frac{1}{2}\) pochodna jest ujemna. Zatem funkcja osiąga w tym miejscu maksimum. Obliczmy wartość funkcji w tym punkcie:

\(f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

ksiązki Odpowiedź

Maksymalne wzniesienie kamienia wynosi \(\frac{1}{4}\)

© medianauka.pl, 2010-09-27, ZAD-945

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

zadanie maturalne 15, matura rozszerzona 2020

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.