Strona główna » Matematyka » Pochodna w zadaniach z treścią

Zadanie - zadanie z treścią - zastosowanie pochodnej

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem

. Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$y'=1-2x\\ y'=0\Leftrightarrow 1-2x=0\\ 2x=1/:2 \\ x=\frac{1}{2}\\ y_{max}=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy już ułatwione zadanie, gdyż podane jest gotowe równanie jednej zmiennej. Szukamy maksymalnego wzniesienia kamienia, czyli maksymalną wartość zmiennej y. Szukamy więc ekstremum funkcji y=f(x). W tym celu obliczamy pochodną:

Szukamy ekstremum funkcji w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru:

$y'=0\\ 1-2x=0 \\ 2x=1/:2 \\ x=\frac{1}{2}$

W tym punkcie funkcja osiąga ekstremum, o ile zmienia w tym punkcie znak z ujemnego na dodatni lub z dodatniego na ujemny. Jak widać dla wartości mniejszych od 1/2 pochodna funkcji y'=1-2x przyjmuje dodatnie wartości, a dla x większych od 1/2 pochodna jest ujemna. Zatem funkcja osiąga w tym miejscu maksimum. Obliczmy wartość funkcji w tym punkcie:

$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$