Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic:

Objętość stożka wyraża sie wzorem:
W przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny. Jego obwód jest równy 20, zatem:
Skorzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa:
Aby badać objętość stożka, musimy wyrazić ja za pomocą jednej zmiennej, załóżmy r. Określmy też wówczas dziedzinę tak uzyskanej funkcji. Wiemy, ze r>0. Ponadto zauważamy, że r<5, gdyż w tym przypadku średnica podstawy jest równa 10, l=5, a wysokość h=0. Mamy więc:
Wprowadzimy funkcje pomocniczą:
funkcje V oraz f są rosnące lub malejące w tych samych przedziałach oraz mają ekstrema lokalne tego samego rodzaju dla tych samych argumentów. Wyznaczamy wartość największą funkcji f w przedziale (0;5).
Funkcja ma dwa miejsca zerowe: r=0 i r=4, ale r=0 nie należy do naszej dziedziny (0<r<5). w punkcie r=4 ma ekstremum. Ponadto f'(r)>0 gdy r-4>0 (sprzeczność ze względu na naszą dziedzinę) lub r-4<0, czyli r<4 oraz f'(r)<0, gdy r>4. Wynika stąd, że dla x = 4 funkcja f ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą wartością funkcji V, bo w przedziale (0, 4> funkcja f jest rosnąca, a przedziale <4, 0) funkcja f jest malejąca.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2017-01-11, ZAD-3374
Zadania podobne
Zadanie - zadanie z treścią - zastosowanie pochodnej
Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem
. Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - zastosowanie pochodnej funkcji w zadaniu z treścią
Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności V zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu
przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Pokaż rozwiązanie zadania
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz
wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.
Drogi Internauto! Aby móc dostarczać coraz lepsze materiały i usługi potrzebujemy Twojej zgody na zapisywanie w pamięci Twojego urządzenia plików cookies oraz na dopasowanie treści marketingowych do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy utrzymywać nasze usługi.
Używamy cookies w celach funkcjonalnych oraz w celu tworzenia anonimowych statystyk. Ddbamy o Twoją prywatność.
Aby udzielić nam zgody na profilowanie i remarketing musisz mieć ukończone 16 lat. Brak zgody nie ograniczy w żaden sposób treści naszego serwisu. Udzieloną nam zgodę w każdej chwili możesz wycofać w Polityce prywatności lub przez wyczyszczenie historii przeglądarki.
Brak zgody oznacza wyłączenie profilowania, remarketingu i dostosowywania treści. Reklamy nadal będą się wyświetlać ale w sposób przypadkowy. Nadal będziemy używać zanonimizowanych danych do tworzenia statystyk serwisu. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na takie użycie danych.
Zapoznaj się z naszą Polityką Prywatności.
BRAK ZGODY ZGODA