Strona główna » Matematyka » Stożek • Pochodna w zadaniach z treścią

Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy szkic:

Objętość stożka wyraża sie wzorem:

$V=\frac{1}{3}P_p\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^2h$

W przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny. Jego obwód jest równy 20, zatem:

$2r+2l=20\\r+l=10\\l=10-r$

Skorzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa:

$r^2+h^2=l^2\\r^2=l^2-h^2\\r^2=(10-r)^2-h^2\\r^2=100-20r+r^2-h^2\\h^2=100-20r\\h=\sqrt{100-20r}$

Aby badać objętość stożka, musimy wyrazić ja za pomocą jednej zmiennej, załóżmy r. Określmy też wówczas dziedzinę tak uzyskanej funkcji. Wiemy, ze r>0. Ponadto zauważamy, że r<5, gdyż w tym przypadku średnica podstawy jest równa 10, l=5, a wysokość h=0. Mamy więc:

$V(r)=\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{100-20r}\\V(r)=\frac{1}{3}\pi \sqrt{100r^4-20r^5}$

Wprowadzimy funkcje pomocniczą:

funkcje V oraz f są rosnące lub malejące w tych samych przedziałach oraz mają ekstrema lokalne tego samego rodzaju dla tych samych argumentów. Wyznaczamy wartość największą funkcji f w przedziale (0;5).

$f'(r)=400r^3-100r^4=0\\100r^3(4-r)=0/:100\\r^3(r-4)=0$

Funkcja ma dwa miejsca zerowe: r=0 i r=4, ale r=0 nie należy do naszej dziedziny (0<r<5). w punkcie r=4 ma ekstremum. Ponadto f'(r)>0 gdy r-4>0 (sprzeczność ze względu na naszą dziedzinę) lub r-4<0, czyli r<4 oraz f'(r)<0, gdy r>4. Wynika stąd, że dla x = 4 funkcja f ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą wartością funkcji V, bo w przedziale (0, 4> funkcja f jest rosnąca, a przedziale <4, 0) funkcja f jest malejąca.