Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic:
Objętość stożka wyraża sie wzorem:
W przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny. Jego obwód jest równy \(20\), zatem:
\(2r+2l=20\)
\(r+l=10\)
l=10-r\)
Skorzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa:
\(r^2+h^2=l^2\)
\(r^2=l^2-h^2\)
\(r^2=(10-r)^2-h^2\)
\(r^2=100-20r+r^2-h^2\)
\(h^2=100-20r\)
\(h=\sqrt{100-20r}\)
Aby badać objętość stożka, musimy wyrazić ja za pomocą jednej zmiennej, załóżmy \(r\). Określmy też wówczas dziedzinę tak uzyskanej funkcji. Wiemy, ze \(r>0\). Ponadto zauważamy, że \(r<5\), gdyż w tym przypadku średnica podstawy jest równa \(10\), \(l=5\), a wysokość \(h=0\). Mamy więc:
\(V(r)=\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{100-20r}\)
\(V(r)=\frac{1}{3}\pi \sqrt{100r^4-20r^5}\)
Wprowadzimy funkcje pomocniczą:
\(f(r)=100r^4-20r^5\)
funkcje \(V\) oraz \(f\) są rosnące lub malejące w tych samych przedziałach oraz mają ekstrema lokalne tego samego rodzaju dla tych samych argumentów. Wyznaczamy wartość największą funkcji \(f\) w przedziale \((0;5)\).
\(f'(r)=400r^3-100r^4=0\)
\(100r^3(4-r)=0/:100\)
\(r^3(r-4)=0\)
Funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(r=0\) i \(r=4\), ale \(r=0\) nie należy do naszej dziedziny \((0<r<5)\). w punkcie \(r=4\) ma ekstremum. Ponadto \(f'(r)>0\) gdy \(r-4>0\) (sprzeczność ze względu na naszą dziedzinę) lub \(r-4<0\), czyli \(r<4\) oraz \(f'(r)<0\), gdy \(r>4\). Wynika stąd, że dla \(x=4\) funkcja \(f\) ma maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą wartością funkcji \(V\), bo w przedziale \((0, 4]\) funkcja \(f\) jest rosnąca, a przedziale \([4,0)\) funkcja \(f\) jest malejąca.
\(r=4\)
\(h=\sqrt{100-20\cdot 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
\(V(4)=\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\sqrt{100-4\cdot 20}=\frac{16\pi}{3}\cdot 2\sqrt{5}=\frac{32\pi\sqrt{5}}{3}\)
Odpowiedź
\(r=4\)
\(h=2\sqrt{5}\)
\(V(4)=\frac{32\pi\sqrt{5}}{3}\)
© medianauka.pl, 2017-01-11, ZAD-3374
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dany jest stożek o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 6 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni.
Zadanie nr 2 — maturalne.
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworzącą tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa
A. \(36\pi\)
B. \(18\pi\)
C. \(24\pi\)
D. \(8\pi\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa:
A. \(27\pi \sqrt{3}\)
B. \(9\pi \sqrt{3}\)
C. \(18\pi\)
D. \(6\pi\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2 . Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa 12 cm3 .
Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa
A. 20 cm3
B. 30 cm3
C. 39 cm3
D. 52,5 cm3